Высота равностороннего треугольника проведенная к основанию. Равнобедренный треугольник. Начальный уровень
Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, ∡ C B F = ∡ B C G {\displaystyle \measuredangle CBF=\measuredangle BCG} на чертеже к доказательству Евклида.
Папп
Прокл также приводит очень короткое доказательство приписываемое Паппу . Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.
Доказательство Паппа. Пусть A B {\displaystyle AB} и A C {\displaystyle AC} . Поскольку угол общий по двум сторонам и углу между ними △ A B C ≅ △ A C B {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle ACB} . В частности, .■
Другие
Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более сложное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла, приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.
Доказательство. Пусть △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} - равнобедренный треугольник с равными сторонами A B {\displaystyle AB} и A C {\displaystyle AC} . Проведём биссектрису угла ∠ A {\displaystyle \angle A} . Пусть X {\displaystyle X} - точка пересечения биссектрисы со стороной B C {\displaystyle BC} . Заметим, что △ B A X ≅ △ C A X {\displaystyle \triangle BAX\cong \triangle CAX} поскольку ∡ B A X = ∡ C A X {\displaystyle \measuredangle BAX=\measuredangle CAX} , A B = A C {\displaystyle AB=AC} и A X {\displaystyle AX} общая сторона. Значит ∡ B = ∡ C {\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C} .
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в , а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое - равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?
Посмотри, как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием .
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона - одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание - третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть - нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:
И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и, и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что)
Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
А уж по трём сторонам - самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:
(Вспоминаем тут, что медиана - линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса - угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то:
Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
- Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
- Если дано, что два угла равны , то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….(Дом, который построил Джек…).
- Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник - равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
- Если оказалось, что высота разделила угол полам - тоже равнобедренный!
- Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана - угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике
Давай посмотрим, как выглядит в задачах.
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике стороны и равны, а. Найти.
Решаем:
Сначала рисунок.
Что здесь - основание? Конечно, .
Вспоминаем, что если, то и.
Обновлённый рисунок:
Обозначим за. Чему там равна сумма углов треугольника? ?
Пользуемся:
Вот и ответ: .
Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.
Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему )
В треугольнике, . Найти.
Решаем:
Треугольник-то - равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).
Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только.
Итак, в имеем:
Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
Осталось найти: .
Ответ: .
Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы , «Равнобедренный треугольник» и в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.
Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а третью сторону называют основанием. В этой статье мы расскажем Вам о том, какие бывают свойства равнобедренного треугольника.
Теорема 1
Углы возле основания равнобедренного треугольника равны между собой
Доказательство теоремы.
Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB. Давайте рассмотрим треугольник BAC. Эти треугольники, по первому признаку, равны между собой. Так и есть, ведь BC = AC, AC = BC, угол ACB = углу ACB. Отсюда вытекает, что угол BAC = углу ABC, ведь это соответствующие углы наших равных между собой треугольников. Вот Вам и свойство углов равнобедренного треугольника.
Теорема 2
Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой
Доказательство теоремы.
Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB, а CD - это медиана, которую мы провели к его основанию. В треугольниках ACD и BCD угол CAD = углу CBD, как соответствующие углы при основании равнобедренного треугольника (Теореме 1). А сторона AC = стороне BC (по определению равнобедренного треугольника). Сторона AD = стороне BD, Ведь точка D делит отрезок AB на равные части. Отсюда выходит, что треугольник ACD = треугольнику BCD.
Из равенства этих треугольников мы имеем равенство соответствующих углов. То есть угол ACD = углу BCD и угол ADC = углу BDC. Из равенства 1 выходит, что CD - это биссектриса. А угол ADC и угол BDC - смежные углы, и из равенства 2 выходит, что они оба прямые. Получается, что CD - это высота треугольника. Это и есть свойство медианы равнобедренного треугольника.
А теперь немного о признаках равнобедренного треугольника.
Теорема 3
Если в треугольнике два угла равны между собой, то такой треугольник равнобедренный
Доказательство теоремы.
Допустим, мы имеем треугольник ABC, в котором угол CAB = углу CBA. Треугольник ABC = треугольнику BAC по второму признаку равенства между треугольниками. Так и есть, ведь AB = BA- угол CBA = углу CAB, угол CAB = углу CBA. Из такого равенства треугольников мы имеем равенство соответствующих сторон треугольника - AC = BC. Тогда выходит, что треугольник ABC равнобедренный.
Теорема 4
Если в любом треугольнике его медиана является также и его высотой, то такой треугольник равнобедренный
Доказательство теоремы.
В треугольнике ABC мы проведем медиану CD. Она также будет являться и высотой. Прямоугольный треугольник ACD = прямоугольному треугольнику BCD, так как катет CD общий для них, а катет AD = катету BD. С этого следует, что их гипотенузы равны между собой, как соответственные части равных треугольников. Это значит, что AB = BC.
Теорема 5
Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны
Доказательство теоремы.
Допустим, мы имеем треугольник ABC и треугольник A1B1C1 такие, в которых стороны AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Рассмотрим доказательство этой теоремы от противного.
Допустим, что эти треугольники не равны между собой. Отсюда имеем, что угол BAC не равен углу B1A1C1, угол ABC не равен углу A1B1C1, угол ACB не равен углу A1C1B1 одновременно. В противном случае, эти треугольники были бы равны по вышерассмотренному признаку.
Допустим, что треугольник A1B1C2 = треугольнику ABC. У треугольника вершина C2 лежит с вершиной C1 относительно прямой A1B1 в одной полуплоскости. Мы предположили, что вершины C2 и C1 не совпадают. Допустим, что точка D - это середина отрезка C1C2. Так мы имеем равнобедренные треугольники B1C1C2 и A1C1C2, у которых есть общее основание C1C2. Выходит, что их медианы B1D и A1D - это также и их высоты. А это значит, что прямая B1D и прямая A1D перпендикулярны прямой C1C2.
B1D и A1D имеют разные точки B1 и A1, и соответственно, не могут совпадать. Но ведь через точку D прямой C1C2 мы можем провести всего одну перпендикулярную ей прямую. У нас получилось противоречие.
Теперь Вы знаете, какие бывают свойства равнобедренного треугольника!
Внимание, только СЕГОДНЯ!
ДРУГОЕ
Равнобедренный треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий три угла и три стороны. Прежде чем…
Треугольник (с точки зрения пространства Эвклида) – это такая геометрическая фигура, которая образована тремя…
Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два…
Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками,…
Всем известно, что два отрезка будут равны, если их длины совпадают. Или окружности можно считать равными, если равны…
Прямоугольный треугольник - это геометрическая фигура, в которой один угол обязательно прямой. Треугольник с прямым…
Геометрия - один из школьных предметов, который пригодится в будущем всем. По одной простой причине - геометрия, а…
Треугольник – особая фигура в геометрии. Он дал название целой отрасли математики – тригонометрии. Поэтому, очень важно…
Треугольник - фигура на плоскости, имеющая три вершины, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти…
Треугольник - строгая геометрическая фигура, вписывающаяся в общие законы, которым подчиняется пространство. Именно эти…
Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника…
Здесь нет никакого парадокса – это классическая теорема евклидовой геометрии, которая дает четкий ответ на вопрос: чему…
Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно…
Чтобы найти синус угла прямоугольного треугольника, нужно вспомнить, что такое синус по определению. А определение…
