ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளின் விளைபொருளாக சிதைப்பது எப்படி. எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைத்தல், முறைகள் மற்றும் சிதைவின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான அல்காரிதம்

இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் கேள்விக்கு பதிலளிக்க தேவையான அனைத்து தகவல்களையும் காண்பீர்கள், ஒரு எண்ணை எவ்வாறு காரணியாக்குவது. முதலில் வழங்கப்பட்டது பொதுவான சிந்தனைஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது குறித்து, விரிவாக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் காரணியாக்குவதற்கான நியதி வடிவம் அடுத்ததாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. அதன் பிறகு, தன்னிச்சையான எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான ஒரு வழிமுறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி எண்களை சிதைப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வகுக்கும் அளவுகோல்கள் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி சிறிய முழு எண்களை முதன்மைக் காரணிகளாக விரைவாகச் சிதைக்க உங்களை அனுமதிக்கும் மாற்று முறைகளும் கருதப்படுகின்றன.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கணக்கிடுவது என்றால் என்ன?

முதலில், முக்கிய காரணிகள் என்ன என்பதைப் பார்ப்போம்.

இந்த சொற்றொடரில் “காரணிகள்” என்ற சொல் இருப்பதால், சில எண்களின் பெருக்கல் நடைபெறுகிறது, மேலும் “பிரதம” என்ற தெளிவுபடுத்தும் சொல் ஒவ்வொரு காரணியும் ஒரு பகா எண் என்று பொருள்படும் என்பது தெளிவாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2 7 7 23 படிவத்தில் நான்கு முக்கிய காரணிகள் உள்ளன: 2 , 7 , 7 மற்றும் 23 .

ஒரு எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கணக்கிடுவது என்றால் என்ன?

என்று அர்த்தம் கொடுக்கப்பட்ட எண்முதன்மைக் காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்பட வேண்டும், மேலும் இந்தத் தயாரிப்பின் மதிப்பு அசல் எண்ணுக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக, 2, 3 மற்றும் 5 ஆகிய மூன்று பகா எண்களின் பெருக்கத்தைக் கவனியுங்கள், அது 30 க்கு சமம், எனவே எண் 30 ஐ பிரதான காரணிகளாகக் காரணியாக்குவது 2 3 5 ஆகும். வழக்கமாக, ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது சமத்துவமாக எழுதப்படுகிறது, எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது இப்படி இருக்கும்: 30=2 3 5 . தனித்தனியாக, விரிவாக்கத்தின் பிரதான காரணிகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம் என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். இது பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு மூலம் தெளிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது: 144=2 2 2 2 3 3 . ஆனால் 45=3 15 என்ற படிவத்தின் பிரதிநிதித்துவம் பிரதான காரணிகளாக சிதைவதில்லை, ஏனெனில் எண் 15 கலவையானது.

பின்வரும் கேள்வி எழுகிறது: "மற்றும் எந்த எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்க முடியும்"?

அதற்கான பதிலைத் தேடி, பின்வரும் காரணத்தை முன்வைக்கிறோம். முதன்மை எண்கள், வரையறையின்படி, ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவற்றில் அடங்கும். இந்த உண்மை மற்றும் , பல பிரதான காரணிகளின் பெருக்கல் ஒரு முழு எண் என்று வாதிடலாம் நேர்மறை எண்மிகையான ஒற்றுமை. எனவே, காரணியாக்கம் 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் நேர்மறை முழு எண்களுக்கு மட்டுமே நடைபெறுகிறது.

ஆனால் அனைத்து முழு எண்களும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட காரணிகளை பிரதான காரணிகளாக மாற்றுமா?

எளிய முழு எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்க வழி இல்லை என்பது தெளிவாகிறது. ஏனென்றால், பகா எண்களுக்கு இரண்டு நேர்மறை வகுப்பிகள் மட்டுமே உள்ளன, ஒன்று மற்றும் அதுவே, எனவே அவற்றை இரண்டின் பெருக்கமாக குறிப்பிட முடியாது அல்லது மேலும்முதன்மை எண்கள். ஒரு முழு எண் z ஐ பகா எண்கள் a மற்றும் b இன் பெருக்கமாக குறிப்பிட முடியும் என்றால், வகுபடுதல் என்ற கருத்து z என்பது a மற்றும் b இரண்டாலும் வகுபடும் என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கும், இது z எண்ணின் எளிமை காரணமாக சாத்தியமற்றது. இருப்பினும், எந்தவொரு பகா எண்ணும் அதன் சிதைவு என்று நம்பப்படுகிறது.

கூட்டு எண்கள் பற்றி என்ன? அவை விரிகின்றனவா கூட்டு எண்கள்பிரதான காரணிகளாக, மற்றும் அனைத்து கூட்டு எண்களும் அத்தகைய சிதைவுக்கு உட்பட்டதா? இந்தக் கேள்விகளில் பலவற்றிற்கு உறுதியான பதில் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது. எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றம், 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் எந்த முழு எண் a யும் பிரதான காரணிகளான p 1 , p 2 , ..., p n ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தில் சிதைக்கப்படலாம், அதே சமயம் விரிவாக்கமானது a=p 1 p 2 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. . p n , மற்றும் இந்த சிதைவு தனித்துவமானது, காரணிகளின் வரிசையை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளவில்லை என்றால்

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக நியதிச் சிதைவு

ஒரு எண்ணின் விரிவாக்கத்தில், பிரதான காரணிகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம். மீண்டும் வரும் முதன்மை காரணிகளைப் பயன்படுத்தி மிகவும் சுருக்கமாக எழுதலாம். a எண்ணின் சிதைவில் முதன்மை காரணி p 1 s 1 முறையும், p 2 - s 2 முறையும், p n - s n முறையும் வரட்டும். பிறகு a என்ற எண்ணின் முதன்மை காரணியாக்கம் என எழுதலாம் a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. இந்த எழுத்து வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக நியதிசார்ந்த காரணியாக்குதல்.

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக நியதிச் சிதைவின் உதாரணம் தருவோம். சிதைவை அறியலாம் 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, அதன் நியமன வடிவம் 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

ஒரு எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைப்பது, எண்ணின் அனைத்து வகுப்பாளர்களையும் எண்ணின் வகுப்பிகளின் எண்ணிக்கையையும் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான அல்காரிதம்

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கும் பணியை வெற்றிகரமாகச் சமாளிக்க, கட்டுரையில் உள்ள எளிய மற்றும் கூட்டு எண்களில் உள்ள தகவலை நீங்கள் மிகவும் நன்றாகப் பார்க்க வேண்டும்.

எண்கணிதத்தின் முக்கிய தேற்றத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து நேர்மறை முழு எண் மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்ணின் விரிவாக்க செயல்முறையின் சாராம்சம் தெளிவாகிறது. இதன் பொருள், p 1 , p 2 , …,p n எண்கள் a, a 1 , a 2 , ..., a n-1 போன்ற சிறிய முதன்மை வகுப்பிகளை தொடர்ச்சியாகக் கண்டறிவதாகும், இது a=p 1 a 1 தொடர் சமத்துவங்களைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. , இங்கு a 1 ​​= a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , இங்கு a 2 =a 1:p 2 , ..., a=p 1 p 2 …p n a n , இங்கு a n =a n -1:ப என். ஒரு n =1 பெறப்படும் போது, ​​சமத்துவம் a=p 1 ·p 2 ·...·p n ஆனது, a எண்ணின் தேவையான சிதைவை பிரதான காரணிகளாகக் கொடுக்கும். என்பதையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும் ப 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

ஒவ்வொரு அடியிலும் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பிகளைக் கண்டறிவதில் இது உள்ளது, மேலும் ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான வழிமுறையை எங்களிடம் இருக்கும். பகா எண் அட்டவணை பகா வகுப்பிகளைக் கண்டறிய உதவும். z எண்ணின் மிகச்சிறிய பிரைம் வகுப்பியைப் பெற அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

பகா எண்களின் (2 , 3 , 5 , 7 , 11 மற்றும் பல) அட்டவணையில் இருந்து பகா எண்களை வரிசையாக எடுத்து, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணான z ஐ அவற்றால் வகுக்கிறோம். z சமமாக வகுபடும் முதல் பகா எண் அதன் மிகச்சிறிய பகா வகுப்பாகும். எண் z பிரைம் என்றால், அதன் சிறிய பகா வகுப்பான் எண் z ஆக இருக்கும். z என்றால் இல்லை என்பதையும் இங்கு நினைவுபடுத்த வேண்டும் முதன்மை எண், அதன் குறைந்தபட்ச முதன்மை வகுப்பான் எண்ணை விட அதிகமாக இல்லை, எங்கிருந்து - z . எனவே, பகா எண்களில் z என்ற எண்ணின் ஒரு வகுப்பான் கூட இல்லை என்றால், z ஒரு பகா எண் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் (இந்த எண் பகா எண் அல்லது கலப்பு என்ற தலைப்பின் கீழ் உள்ள கோட்பாடு பிரிவில் இதைப் பற்றி மேலும் எழுதப்பட்டுள்ளது. )

எடுத்துக்காட்டாக, 87 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காண்போம். நாங்கள் எண் 2 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். 87 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், 87:2=43 (ஓய்வு. 1) கிடைக்கும் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). அதாவது, 87 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், மீதி 1 ஆகும், எனவே 2 என்பது 87 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல. பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து அடுத்த பகா எண்ணை எடுத்துக்கொள்கிறோம், இது எண் 3 ஆகும். 87 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், 87:3=29 கிடைக்கும். எனவே 87 என்பது 3 ஆல் சமமாக வகுபடும், எனவே 3 என்பது 87 இன் சிறிய முதன்மை வகுப்பாகும்.

பொது வழக்கில், a எண்ணை காரணியாக்க, க்குக் குறையாத எண் வரையிலான பகா எண்களின் அட்டவணை நமக்குத் தேவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒவ்வொரு அடியிலும் இந்த அட்டவணையை நாம் பார்க்க வேண்டும், எனவே அதை கையில் வைத்திருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 95 என்ற எண்ணை காரணியாக்க, 10 வரையிலான பகா எண்களின் அட்டவணை நமக்குத் தேவைப்படும் (10 ஐ விட பெரியது என்பதால்). மேலும் 846 653 எண்ணை சிதைக்க, உங்களுக்கு ஏற்கனவே 1,000 வரையிலான பகா எண்களின் அட்டவணை தேவைப்படும் (1,000 அதிகமாக இருப்பதால்).

இப்போது எங்களிடம் எழுத போதுமான தகவல்கள் உள்ளன ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாகக் காரணியாக்குவதற்கான வழிமுறை. எண்ணை விரிவடையச் செய்வதற்கான அல்காரிதம் பின்வருமாறு:

• பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து எண்களை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம், a எண்ணின் சிறிய பகா வகுப்பி p 1 ஐக் காண்கிறோம், அதன் பிறகு 1 =a:p 1 ஐக் கணக்கிடுகிறோம். ஒரு 1 =1 எனில், எண் a முதன்மையானது, அதுவே அதன் சிதைவு முதன்மை காரணிகளாகும். ஒரு 1 என்பது 1 க்கு சமம் என்றால், நாம் a=p 1 ·a 1 ஐக் கொண்டு அடுத்த படிக்குச் செல்கிறோம்.
• a 1 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய பகா வகுப்பி p 2 ஐக் காண்கிறோம், இதற்காக ப 1 இல் தொடங்கி பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து எண்களை வரிசையாக வரிசைப்படுத்துகிறோம், அதன் பிறகு 2 =a 1:p 2 ஐக் கணக்கிடுகிறோம். a 2 =1 எனில், a எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைப்பது a=p 1 ·p 2 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு 2 என்பது 1 க்கு சமம் என்றால், நாம் a=p 1 ·p 2 ·a 2 ஐக் கொண்டு அடுத்த படிக்குச் செல்கிறோம்.
• ப 2 இல் தொடங்கி பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து எண்கள் வழியாகச் செல்லும்போது, ​​a 2 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய பிரைம் வகுப்பி p 3 ஐக் காண்கிறோம், அதன் பிறகு நாம் 3 =a 2:p 3 ஐக் கணக்கிடுகிறோம். a 3 =1 எனில், a எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது a=p 1 ·p 2 ·p 3 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு 3 என்பது 1 க்கு சமம் என்றால், எங்களிடம் a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 உள்ளது மற்றும் அடுத்த படிக்குச் செல்கிறோம்.
• p n-1 ல் தொடங்கி, n =a n-1:p n , மற்றும் a n என்பது 1 க்கு சமம் என ப்ரைம்கள் மூலம் வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் a n-1 எண்ணின் சிறிய பகா வகுப்பி p n ஐக் கண்டறியவும். இந்த படிமுறையின் கடைசி படியாகும், இங்கே நாம் a எண்ணின் தேவையான சிதைவை பிரதான காரணிகளாகப் பெறுகிறோம்: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான வழிமுறையின் ஒவ்வொரு படியிலும் பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளும் பின்வரும் அட்டவணையின் வடிவத்தில் தெளிவுக்காக வழங்கப்படுகின்றன, இதில் எண்கள் a, a 1, a 2, ..., a n ஆகியவை தொடர்ச்சியாக எழுதப்படுகின்றன. செங்குத்து பட்டியின் இடதுபுறம், மற்றும் பட்டியின் வலதுபுறம் - தொடர்புடைய சிறிய முதன்மை வகுப்பிகள் p 1 , p 2 , ..., p n .

எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கு பெறப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வது மட்டுமே உள்ளது.

முதன்மை காரணியாக்க எடுத்துக்காட்டுகள்

இப்போது நாம் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வோம் முதன்மை காரணிப்படுத்தல் எடுத்துக்காட்டுகள். சிதைக்கும் போது, ​​முந்தைய பத்தியில் இருந்து வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவோம். எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கும் போது எழும் சாத்தியமான அனைத்து நுணுக்கங்களையும் எதிர்கொள்ள எளிய நிகழ்வுகளுடன் தொடங்குவோம், மேலும் படிப்படியாக அவற்றை சிக்கலாக்குவோம்.

உதாரணமாக.

78 என்ற எண்ணை பிரதான காரணிகளாகக் கூறு.

முடிவு.

a=78 என்ற எண்ணின் முதல் சிறிய முதன்மை வகுப்பி p 1ஐத் தேடத் தொடங்குகிறோம். இதைச் செய்ய, பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து பகா எண்களை வரிசையாக வரிசைப்படுத்தத் தொடங்குகிறோம். நாம் எண் 2 ஐ எடுத்து அதை 78 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 78:2=39 கிடைக்கும். 78 என்ற எண் மீதம் இல்லாமல் 2 ஆல் வகுக்கப்பட்டது, எனவே p 1 \u003d 2 என்பது 78 என்ற எண்ணின் முதன்மை வகுப்பாகும். இந்த வழக்கில் a 1 =a:p 1 =78:2=39 . எனவே நாம் 78=2·39 வடிவத்தைக் கொண்ட a=p 1 ·a 1 என்ற சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம். வெளிப்படையாக, 1 =39 1 இலிருந்து வேறுபட்டது, எனவே நாம் வழிமுறையின் இரண்டாவது படிக்குச் செல்கிறோம்.

இப்போது நாம் a 1 =39 எண்ணின் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பி p 2 ஐத் தேடுகிறோம். ப 1 =2 இல் தொடங்கி, பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து எண்களின் எண்ணிக்கையைத் தொடங்குகிறோம். 39 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 39:2=19 கிடைக்கும் (மீதம் 1). 39 ஆனது 2 ஆல் சமமாக வகுபடாததால், 2 அதன் வகுப்பான் அல்ல. பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து அடுத்த எண்ணை (எண் 3) எடுத்து 39 ஆல் வகுத்தால் 39:3=13 கிடைக்கும். எனவே, p 2 \u003d 3 என்பது எண் 39 இன் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பாகும், அதே நேரத்தில் 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. 78=2 3 13 வடிவத்தில் சமத்துவம் a=p 1 p 2 a 2 உள்ளது. 2 =13 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்பதால், அல்காரிதத்தின் அடுத்த கட்டத்திற்கு செல்கிறோம்.

இங்கே நாம் a 2 =13 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பினைக் கண்டறிய வேண்டும். எண் 13 இன் மிகச்சிறிய பிரைம் வகுப்பி p 3 ஐத் தேடி, ப 2 =3 இல் தொடங்கி பகா எண்களின் அட்டவணையில் இருந்து எண்களை வரிசையாக வரிசைப்படுத்துவோம். 13 என்ற எண் 3 ஆல் வகுபடாது, 13:3=4 (ஓய்வு. 1), மேலும் 13 என்பது 5, 7 மற்றும் 11ஆல் வகுபடாது, ஏனெனில் 13:5=2 (ஓய்வு. 3), 13:7=1 (ரெஸ். 6) மற்றும் 13:11=1 (ரெஸ். 2) . அடுத்த பகா எண் 13, மேலும் 13 ஆனது மீதம் இல்லாமல் அதனால் வகுபடும், எனவே, எண் 13 இன் மிகச்சிறிய பகா எண் p 3 எண் 13 ஆகும், மேலும் a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . ஒரு 3 =1 என்பதால், அல்காரிதத்தின் இந்தப் படி கடைசியாக உள்ளது, மேலும் 78 என்ற எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைப்பது 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. .

பதில்:

78=2 3 13

உதாரணமாக.

83,006 என்ற எண்ணை பிரதான காரணிகளின் பலனாக வெளிப்படுத்தவும்.

முடிவு.

ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாகக் காரணியாக்குவதற்கான வழிமுறையின் முதல் படியில், p 1 =2 மற்றும் a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , எங்கிருந்து 83 006=2 41 503 .

இரண்டாவது படியில், 2, 3 மற்றும் 5 ஆகியவை a 1 =41 503 என்ற எண்ணின் முதன்மை வகுப்பிகள் அல்ல, மேலும் 41 503: 7=5 929 இலிருந்து எண் 7 உள்ளது. எங்களிடம் p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . இவ்வாறு, 83 006=2 7 5 929 .

5 929:7=847 முதல் 2 =5 929 இன் சிறிய முதன்மை வகுப்பான் 7 ஆகும். எனவே, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , எங்கிருந்து 83 006=2 7 7 847 .

மேலும், a 3 =847 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பி p 4 ஆனது 7 க்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். பிறகு a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , எனவே 83 006=2 7 7 7 121 .

இப்போது a 4 =121 என்ற எண்ணின் மிகச்சிறிய முதன்மை வகுப்பியைக் காண்கிறோம், அது p 5 =11 என்ற எண்ணாகும் (121 என்பது 11 ஆல் வகுபடும் மற்றும் 7 ஆல் வகுபடாது). பின்னர் a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , மற்றும் 83 006=2 7 7 7 11 11 .

இறுதியாக, ஒரு 5 =11 இன் சிறிய முதன்மை வகுப்பான் p 6 =11 ஆகும். பிறகு a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . ஒரு 6 =1 என்பதால், ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான வழிமுறையின் இந்த படி கடைசியாக உள்ளது, மேலும் விரும்பிய சிதைவு 83 006=2·7·7·7·11·11 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பெறப்பட்ட முடிவானது, எண்ணை முதன்மைக் காரணிகள் 83 006=2·7 3 ·11 2 ஆக நியதிச் சிதைவு என எழுதலாம்.

பதில்:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 என்பது பகா எண். உண்மையில், அதற்கு மேல் இல்லாத முதன்மை வகுப்பான் இல்லை (தோராயமாக மதிப்பிடலாம், ஏனெனில் இது 991 என்பது தெளிவாகிறது.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

பதில்:

897 924 289=937 967 991 .

முதன்மை காரணியாக்கத்திற்கான வகுத்தல் சோதனைகளைப் பயன்படுத்துதல்

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், இந்தக் கட்டுரையின் முதல் பத்தியிலிருந்து சிதைவு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தாமல், ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாகச் சிதைக்கலாம். எண்கள் பெரியதாக இல்லாவிட்டால், அவற்றை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்க, வகுக்கும் அறிகுறிகளை அறிந்து கொள்வது போதுமானது. தெளிவுபடுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம்.

உதாரணமாக, நாம் எண் 10 ஐ பிரதான காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும். பெருக்கல் அட்டவணையில் இருந்து 2 5=10 , மற்றும் 2 மற்றும் 5 எண்கள் வெளிப்படையாக முதன்மையானது, எனவே 10 இன் முதன்மை காரணியாக்கம் 10=2 5 ஆகும்.

மற்றொரு உதாரணம். பெருக்கல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, எண் 48 ஐ பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கிறோம். ஆறு எட்டு என்பது நாற்பத்தெட்டு, அதாவது 48=6 8 என்பது நமக்குத் தெரியும். இருப்பினும், 6 அல்லது 8 பகா எண்கள் அல்ல. ஆனால் இரண்டு முறை மூன்று என்பது ஆறு, இரண்டு முறை நான்கு என்பது எட்டு, அதாவது 6=2 3 மற்றும் 8=2 4 . பிறகு 48=6 8=2 3 2 4 . இரண்டு முறை இரண்டு என்பது நான்கு என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், பின்னர் நாம் விரும்பிய சிதைவை முதன்மை காரணிகளாகப் பெறுகிறோம் 48=2 3 2 2 2 . இந்த சிதைவை நியமன வடிவத்தில் எழுதுவோம்: 48=2 4 ·3 .

ஆனால் 3400 என்ற எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கும் போது, ​​நீங்கள் வகுக்கும் அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தலாம். 10, 100 ஆல் வகுபடுவதற்கான அறிகுறிகள், 3400 என்பது 100 ஆல் வகுபடும், 3400=34 100, மற்றும் 100 என்பது 10 ஆல் வகுபடும், அதே சமயம் 100=10 10, எனவே, 3400=34 10 10 என்று வலியுறுத்த அனுமதிக்கிறது. 2 ஆல் வகுபடும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், 34, 10 மற்றும் 10 காரணிகள் ஒவ்வொன்றும் 2 ஆல் வகுபடும் என்று வாதிடலாம். 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. விளைவான விரிவாக்கத்தின் அனைத்து காரணிகளும் எளிமையானவை, எனவே இந்த விரிவாக்கம் விரும்பிய ஒன்றாகும். காரணிகளை மறுசீரமைக்க மட்டுமே உள்ளது, அதனால் அவை ஏறுவரிசையில் செல்லும்: 3 400=2 2 2 5 5 17 . இந்த எண்ணின் நியதிச் சிதைவை பிரதான காரணிகளாகவும் எழுதுகிறோம்: 3 400=2 3 5 2 17 .

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கும் போது, ​​நீங்கள் வகுத்தல் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணை ஆகிய இரண்டையும் பயன்படுத்தலாம். பிரதான காரணிகளின் விளைபொருளாக 75 என்ற எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். 5 ஆல் வகுபடுதலின் அடையாளம் 75 ஐ 5 ஆல் வகுபடும் என்று வலியுறுத்த அனுமதிக்கிறது, அதே நேரத்தில் 75=5 15 ஐப் பெறுகிறோம். மேலும் பெருக்கல் அட்டவணையில் இருந்து 15=3 5, எனவே, 75=5 3 5 என்று அறிகிறோம். இது 75 என்ற எண்ணை பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவதற்கு விரும்பப்படுகிறது.

நூல் பட்டியல்.

• விலென்கின் என்.யா. முதலியன கணிதம். வகுப்பு 6: கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல்.
• வினோகிராடோவ் ஐ.எம். எண் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்.
• Mikhelovich Sh.Kh. எண் கோட்பாடு.
• குலிகோவ் எல்.யா. இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு: fiz.-mat மாணவர்களுக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்களின் சிறப்புகள்.

x இல் டெய்லர் தொடரின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு 0 =0

nநாங்கள் அழைக்கிறோம்அருகில் மெக்லாரின் செயல்பாட்டிற்குf(எக்ஸ்).

சிலவற்றின் சிதைவைக் கண்டுபிடிப்போம் ஆரம்பநிலை Maclaurin தொடரில் செயல்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 23

.

முடிவு.

சிக்கலைத் தீர்க்க, மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவோம். மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்த வேண்டியது அவசியம் என்பதால், புள்ளியின் அருகாமையில் விரிவாக்கத்தை நாங்கள் தேடுவோம். எக்ஸ் 0 = 0.

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ் 0 =0, வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகள் வரை பிவது வரிசை மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகள் எக்ஸ் 0 = 0:

மேக்லாரின் தொடரை ஃபார்முலா மூலம் முறையாக எழுதுவோம்

இரட்டைப்படை சக்திகளில் உள்ள குணகங்கள் (எப்போது பி- ஒரு இரட்டை எண்) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

பெறப்பட்ட தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக தொடரின் விதிமுறைகளின் முழுமையான மதிப்புகளின் வரிசையை உருவாக்குகிறோம்:

அதற்கு D "Alembert" என்ற அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

வரம்பு மதிப்பு சார்ந்து இல்லை என்பதால் எக்ஸ்மற்றும் எவருக்கும் ஒற்றுமை குறைவாக உள்ளது எக்ஸ், பின்னர் தொடர் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒன்றிணைகிறது, அதாவது தொடரின் ஒன்றிணைந்த பகுதி எக்ஸ்(–,+).

போதுமான நிபந்தனைகளை நிறைவேற்றுவதை சரிபார்க்கலாம். என்பது வெளிப்படையானது

க்கான பி= 0,1,2,... மற்றும் எதற்கும் எக்ஸ்,

இதன் பொருள், செயல்பாடு முழு உண்மையான அச்சில் அதன் சொந்த மெக்லாரின் தொடராக விரிவடைகிறது, அதாவது.

மணிக்கு எக்ஸ்(–,+).

பரிசீலிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், புள்ளியின் அருகாமையில் உள்ள சக்தித் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் குணகங்களைத் தீர்மானிக்க எக்ஸ் 0 =0 க்கு ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறும் வரை செயல்பாட்டை நாங்கள் தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தினோம் பிவது வழித்தோன்றல், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிந்தது. பிறகு எதற்கு என்று தெரியவந்தது எக்ஸ்ஒரு செயல்பாட்டை ஒரு தொடராக விரிவுபடுத்துவதற்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. பெரும்பாலும் இந்த படிகள் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். இந்த சிரமங்களை சில நேரங்களில் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தவிர்க்கலாம் அறிக்கைஅந்த எந்த வகையிலும் பெறப்பட்ட ஆற்றல் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் டெய்லர் தொடரில் அதன் விரிவாக்கமாக இருக்கும்.எனவே, ஒரு சக்தித் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைப் பெறுவதற்கு, ஒருங்கிணைவு மற்றும் வேறுபாட்டின் மீதான கூட்டல், பெருக்கல் மற்றும் கோட்பாடுகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட விரிவாக்கங்கள், மெக்லாரின் தொடர்களைப் பயன்படுத்தலாம். சக்தி தொடர்.

எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டின் சிதைவு f(எக்ஸ்)= cos எக்ஸ் செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தை கால-மூலமாக வேறுபடுத்துவதன் மூலம் பெறலாம் f(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ்.

மணிக்கு எக்ஸ்(–,+).

இதேபோல், ஆற்றல் தொடர்களின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாட்டின் விரிவாக்க வழிமுறை மற்றும் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் மேக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கங்களைப் பெறலாம்:

மணிக்கு எக்ஸ்(–,+);

இt≥.0, அல்லது t -1, பின்னர் ஒன்றிணைந்த பகுதி x (-1;1),

இஎன்றால்–1< டி<0 , பின்னர் ஒன்றிணைந்த பகுதி x (-1;1].

அத்தகைய சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருவகை தொடர்.குறிப்பாக, கடைசி சிதைவில் அனுமானித்தல் டி= –1, நாம் பெறுகிறோம்

, எக்ஸ் (-1;1).

இந்த விரிவாக்கத்தில் மாற்றுதல் எக்ஸ்வெளிப்பாட்டிற்கு (- எக்ஸ்), நாம் பெறுகிறோம்

, மணிக்கு எக்ஸ் (–1;1).

சக்தி தொடர் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் செயல்பாட்டின் மேக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்திற்குப் பயன்படுத்துதல்
, நாங்கள் பெறுகிறோம்

மணிக்கு எக்ஸ் (–1;1].

செயல்பாடுகளின் சிதைவில் மாற்றுதல்
மாறி எக்ஸ்வெளிப்பாட்டிற்கு மற்றும் ஒருங்கிணைக்க, நாங்கள் பெறுகிறோம்

மணிக்கு எக்ஸ் [–1;1].

பயன்படுத்தி இருபக்க தொடர் -செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கம்
, அனுமானித்து
, மாற்றுகிறது எக்ஸ்வெளிப்பாட்டிற்கு
மற்றும் ஒருங்கிணைத்தல், நாம் பெறுகிறோம்

மணிக்கு எக்ஸ் (–1;1).

எடுத்துக்காட்டு 24.

அறியப்பட்ட விரிவாக்கங்களைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடரை விரிவாக்குங்கள்
.

முடிவு

Maclaurin தொடரில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறிவது அவசியம், அதாவது. அதிகாரத் தொடரில் எக்ஸ். நாம் சிதைவைப் பயன்படுத்துவோம்

மணிக்கு டி  (–1;1].

அனுமானிக்கிறேன் டி = எக்ஸ் 2 , நாம் பெறுகிறோம்

இந்த சிதைவு எப்போது செல்லுபடியாகும்
, எங்கே
, பின்னர் ஒன்றிணைந்த பகுதி
.

இதனால்,

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கல் எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்

மணிக்கு எக்ஸ் [–1;1].

பிஉதாரணம் 25

அறியப்பட்ட விரிவாக்கங்களைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்
புள்ளிக்கு அருகில் டெய்லர் தொடரில் எக்ஸ் 0 =1.

முடிவு.

புள்ளியின் அருகாமையில் டெய்லர் தொடரில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைப் பெறுவது அவசியம் எக்ஸ் 0 = 1, அந்த. டிகிரி மூலம் ( எக்ஸ்–1).

நாம் சிதைவைப் பயன்படுத்துவோம்

மணிக்கு டி  (-1;1).

அதிகாரங்களில் இந்தச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைப் பெறுவதற்காக ( எக்ஸ்–1) ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துங்கள் டி= எக்ஸ்–1, பிறகு x =டி + 1. இந்த செயல்பாட்டை ஒரு புதிய மாறி, அமைப்பிற்கு மாற்றுவோம் x =டி + 1:

அதற்குப் பதிலாக தெரிந்த விரிவாக்கத்தை வைப்பது டிஒரு எண்ணால் வெளிப்பாடு மற்றும் பெருக்கல், நாம் பெறுகிறோம்

மணிக்கு  (-1;1).

விளைந்த சிதைவில் அனுமானித்தல் டி = எக்ஸ்–1, அசல் மாறிக்கு திரும்பவும் எக்ஸ்மேலும் இந்தச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை அதிகாரங்களில் ஒரு சக்தித் தொடராகப் பெறவும் ( எக்ஸ்-1):

இந்த சிதைவு நிபந்தனையின் கீழ் செல்லுபடியாகும்
, எங்கே
.

எனவே நாங்கள் சிதைவைப் பெற்றோம்

மணிக்கு
.

எடுத்துக்காட்டு 26

செயல்பாட்டை விரிவாக்கு
ஒரு கட்டத்தில் ஒரு சக்தி தொடரில்
.

முடிவு.

மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி இந்தச் செயல்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:

நன்கு அறியப்பட்ட விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல்

மணிக்கு டி  (–1;1].

செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறியவும்
, அனுமானித்து டி= 2எக்ஸ், மற்றும் அம்சங்கள்
, அனுமானித்து டி= -x:

விரிவாக்கம் 2 க்கு செல்லுபடியாகும் எக்ஸ்  (–1;1), அந்த. மணிக்கு
.

அதேபோல்,

மற்றும் விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் (- எக்ஸ்)  (–1;1), அதாவது. மணிக்கு எக்ஸ்  (–1;1).

பவர் சீரிஸை காலத்தால் சேர்க்கலாம் மற்றும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கலாம், அதாவது

மேலும், இந்த விரிவாக்கம் ஒன்றிணைந்த பொதுப் பகுதியில் செல்லுபடியாகும், அதாவது, மணிக்கு
.

பிஉதாரணம் 27

மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்
.

முடிவு.

செயல்பாட்டை மாற்றுவோம்

.

செயல்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல் மணிக்கு=(1+ டி) மீ , அனுமானித்து
மற்றும்
, நாங்கள் பெறுகிறோம்

பயன்படுத்தப்படும் இருசொல் தொடர்
ஒன்றிணைந்த பகுதியைக் கொண்டுள்ளது டி  (-1;1], எனவே, பெறப்பட்ட சிதைவு செல்லுபடியாகும்
, எங்கே
,
.

அதனால்,
மணிக்கு
.

f(x) சார்பு அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், புள்ளி a ஐக் கொண்ட சில இடைவெளியில், டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
,
எங்கே rn- எஞ்சிய கால அல்லது தொடரின் எஞ்சியவை, லாக்ரேஞ்ச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடலாம்:
, x எண் x மற்றும் a க்கு இடையில் இருக்கும்.

செயல்பாடு நுழைவு விதிகள்:

சில மதிப்பு இருந்தால் எக்ஸ் rn→0 மணிக்கு n→∞, பின்னர் வரம்பில் டெய்லர் சூத்திரம் இந்த மதிப்பை ஒருமுகமாக மாற்றுகிறது டெய்லர் தொடர்:
,
எனவே, f(x) செயல்பாட்டை டெய்லர் தொடராக x கருதப்படும் புள்ளியில் விரிவாக்கலாம்:
1) இது அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது;
2) கட்டமைக்கப்பட்ட தொடர் இந்த கட்டத்தில் ஒன்றிணைகிறது.

a = 0 க்கு நாம் ஒரு தொடரைப் பெறுகிறோம் மெக்லாரின் அருகில்:
,
மெக்லாரின் தொடரில் எளிமையான (தொடக்க) செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்:
அதிவேக செயல்பாடுகள்
, ஆர்=∞
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்
, ஆர்=∞
, ஆர்=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ஆக்டிஜிஎக்ஸ் செயல்பாடு x இன் சக்திகளில் விரிவடையாது, ஏனெனில் ctg0=∞
ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள்


மடக்கை செயல்பாடுகள்
, -1
இருபக்க தொடர்
.

எடுத்துக்காட்டு #1. செயல்பாட்டை ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவாக்குங்கள் f(x)= 2எக்ஸ்.
முடிவு. செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்=0
f(x) = 2எக்ஸ், f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2எக்ஸ் ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2எக்ஸ் ln 2 2, f""( 0) = 2 0 பதிவு 2 2= பதிவு 2 2;
…
f(n)(x) = 2எக்ஸ் ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
டெய்லர் தொடர் சூத்திரத்தில் டெரிவேடிவ்களின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் முடிவிலிக்கு சமம், எனவே இந்த விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் -∞<எக்ஸ்<+∞.

எடுத்துக்காட்டு #2. அதிகாரங்களில் டெய்லர் தொடரை எழுதுங்கள் ( எக்ஸ்+4) செயல்பாட்டிற்கு f(x)=இ எக்ஸ்.
முடிவு. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் e எக்ஸ்மற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகள் எக்ஸ்=-4.
f(x)= இ எக்ஸ், f(-4) = இ -4 ;
f"(x)= இ எக்ஸ், f"(-4) = இ -4 ;
f""(x)= இ எக்ஸ், f""(-4) = இ -4 ;
…
f(n)(x)= இ எக்ஸ், f(n)( -4) = இ -4 .
எனவே, செயல்பாட்டின் விரும்பிய டெய்லர் தொடர் வடிவம் உள்ளது:

இந்த விரிவாக்கம் -∞க்கும் செல்லுபடியாகும்<எக்ஸ்<+∞.

எடுத்துக்காட்டு #3. செயல்பாட்டை விரிவாக்கு f(x)=எல்என் எக்ஸ்டிகிரி மூலம் தொடரில் ( எக்ஸ்- 1),
(அதாவது, புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடரில் எக்ஸ்=1).
முடிவு. இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
இந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் விரும்பிய டெய்லர் தொடரைப் பெறுகிறோம்:

d'Alembert இன் சோதனையின் உதவியுடன், தொடர் ½x-1½ இல் இணைவதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம்.<1 . Действительно,

½ என்றால் தொடர் ஒன்றிணைகிறது எக்ஸ்- 1½<1, т.е. при 0<எக்ஸ்<2. При எக்ஸ்=2 லீப்னிஸ் சோதனையின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் மாற்றுத் தொடரைப் பெறுகிறோம். x=0 க்கு செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே, டெய்லர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி அரை-திறந்த இடைவெளி (0;2] ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு #4. பவர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்.
முடிவு. சிதைவில் (1) நாம் x ஐ -x 2 ஆல் மாற்றுகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
, -∞

எடுத்துக்காட்டு எண் 5. மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் .
முடிவு. எங்களிடம் உள்ளது
சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் எழுதலாம்:

-x சூத்திரத்தில் x க்கு பதிலாக, நாம் பெறுகிறோம்:

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிப்போம்: ln(1+x)-ln(1-x) = -
அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துதல், தொடரின் விதிமுறைகளை மறுசீரமைத்தல் மற்றும் ஒத்த சொற்களைக் குறைத்தல், நாங்கள் பெறுகிறோம்
. இந்தத் தொடர் இடைவெளியில் (-1;1) ஒன்றிணைகிறது, ஏனெனில் இது இரண்டு தொடர்களிலிருந்து பெறப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் இந்த இடைவெளியில் ஒன்றிணைகிறது.

கருத்து .
டெய்லர் தொடரில் தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை விரிவாக்க ஃபார்முலாக்கள் (1)-(5) பயன்படுத்தப்படலாம், அதாவது. நேர்மறை முழு எண் சக்திகளில் செயல்பாடுகளை விரிவாக்குவதற்கு ( ஹா) இதைச் செய்ய, (1) - (5) செயல்பாடுகளில் ஒன்றைப் பெற, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் இதுபோன்ற ஒத்த மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். எக்ஸ்செலவுகள் k( ஹா) m , இங்கு k என்பது ஒரு நிலையான எண், m என்பது நேர்மறை முழு எண். மாறியை மாற்றுவது பெரும்பாலும் வசதியானது டி=ஹாமற்றும் Maclaurin தொடரில் t பொறுத்து விளைவாக செயல்பாடு விரிவாக்க.

இந்த முறை ஒரு சக்தித் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் தனித்தன்மையின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், ஒரே புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில், அதன் விரிவாக்கம் எவ்வாறு நிகழ்த்தப்பட்டாலும், ஒரே செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைக்கும் இரண்டு வெவ்வேறு சக்தித் தொடர்களைப் பெற முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5a. மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும், ஒன்றிணைந்த பகுதியைக் குறிக்கவும்.
முடிவு. முதலில் 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
தொடக்கநிலைக்கு:

பின்னம் 3/(1-3x) என்பது 3x என்ற வகுப்பின் எல்லையில்லாக் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகக் காணப்பட்டால் |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ஒருமுகப் பகுதியுடன் |x|< 1/3.

எடுத்துக்காட்டு எண் 6. x = 3 புள்ளிக்கு அருகில் டெய்லர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும்.
முடிவு. டெய்லர் தொடரின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, முன்பு போலவே, இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், இதற்காக செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களையும் அவற்றின் மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். எக்ஸ்=3. இருப்பினும், தற்போதுள்ள சிதைவைப் பயன்படுத்துவது எளிதாக இருக்கும் (5):
=
இதன் விளைவாக வரும் தொடர் அல்லது -3 இல் ஒன்றிணைகிறது

எடுத்துக்காட்டு எண் 7. ln(x+2) செயல்பாட்டின் அதிகாரங்களில் (x -1) டெய்லர் தொடரை எழுதவும்.
முடிவு.


தொடர் , அல்லது -2 இல் ஒன்றிணைகிறது< x < 5.

எடுத்துக்காட்டு எண் 8. x =2 என்ற புள்ளியைச் சுற்றி டெய்லர் தொடரில் f(x)=sin(πx/4) செயல்பாட்டை விரிவாக்கவும்.
முடிவு. t=x-2 ஐ ​​மாற்றியமைப்போம்:

விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி (3), இதில் x க்கு π / 4 t ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் தொடர் -∞ இல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகிறது< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞இதனால்,
, (-∞

பவர் தொடரைப் பயன்படுத்தி தோராயமான கணக்கீடுகள்

பவர் தொடர்கள் தோராயமான கணக்கீடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவர்களின் உதவியுடன், கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன், நீங்கள் வேர்களின் மதிப்புகள், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், எண்களின் மடக்கைகள், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடலாம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பிலும் தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
சக்தித் தொடரில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைக் கவனியுங்கள்:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிட எக்ஸ், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பகுதிக்கு சொந்தமானது, முதலாவது nஉறுப்பினர்கள் ( nஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்), மற்றும் மீதமுள்ள சொற்கள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன:

பெறப்பட்ட தோராயமான மதிப்பின் பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு, நிராகரிக்கப்பட்ட எஞ்சிய r n (x) ஐ மதிப்பிடுவது அவசியம். இதற்காக, பின்வரும் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

• இதன் விளைவாக வரும் தொடர் எழுத்து மாற்றாக இருந்தால், பின்வரும் சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது: லீப்னிஸ் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு மாற்றுத் தொடருக்கு, தொடரின் எஞ்சிய பகுதியின் முழுமையான மதிப்பு முதல் நிராகரிக்கப்பட்ட காலத்தை விட அதிகமாக இருக்காது..
• கொடுக்கப்பட்ட தொடர் நிலையான அடையாளமாக இருந்தால், நிராகரிக்கப்பட்ட சொற்களால் ஆன தொடர் எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடப்படுகிறது.
• பொதுவான வழக்கில், டெய்லர் தொடரின் எஞ்சிய பகுதியை மதிப்பிட, நீங்கள் Lagrange சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: a எக்ஸ் ).

எடுத்துக்காட்டு #1. ln(3) ஐ 0.01க்குள் கணக்கிடவும்.
முடிவு. x=1/2 (முந்தைய தலைப்பில் உதாரணம் 5ஐப் பார்க்கவும்): சிதைவைப் பயன்படுத்துவோம்.

விரிவாக்கத்தின் முதல் மூன்று சொற்களுக்குப் பிறகு எஞ்சியதை நிராகரிக்க முடியுமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம், இதற்காக எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடு செய்கிறோம்:

எனவே இந்த மீதியை நாம் நிராகரித்து பெறலாம்

எடுத்துக்காட்டு #2. அருகிலுள்ள 0.0001 க்கு கணக்கிடவும்.
முடிவு. இருசொல் தொடரைப் பயன்படுத்துவோம். 5 3 என்பது 130க்கு அருகிலுள்ள முழு எண் கனசதுரமாக இருப்பதால், 130 என்ற எண்ணை 130=5 3 +5 எனக் குறிப்பிடுவது நல்லது.



லீப்னிஸ் சோதனையை திருப்திப்படுத்தும் பெறப்பட்ட குறி-மாற்று தொடரின் நான்காவது கால அளவு ஏற்கனவே தேவையான துல்லியத்தை விட குறைவாக உள்ளது:
, எனவே அதையும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் விதிமுறைகளையும் நிராகரிக்கலாம்.
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறையில் அவசியமான பல திட்டவட்டமான அல்லது முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட முடியாது, ஏனெனில் அதன் பயன்பாடு ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிப்புடன் தொடர்புடையது, பெரும்பாலும் அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்பாடு இல்லை. ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியம், ஆனால் தேவையில்லாமல் உழைப்பு. இருப்பினும், ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவுபடுத்தப்பட்டால், மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீடு சாத்தியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு #3. ஒருங்கிணைந்த ∫ 0 1 4 sin (x) x இலிருந்து 10 -5 க்குள் கணக்கிடவும்.
முடிவு. தொடர்புடைய காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்படுத்த முடியாது, அதாவது. ஒரு "சாத்தியமற்ற ஒருங்கிணைப்பு" ஆகும். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை இங்கே பயன்படுத்த முடியாது. ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடுவோம்.
பாவத்திற்கான தொடரை காலத்தால் வகுத்தல் எக்ஸ்அதன் மேல் எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்தத் தொடரின் சொல்லை காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைத்தல் (இது சாத்தியமாகும், ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் தொடர் லீப்னிஸின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதால், கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் விரும்பிய மதிப்பைப் பெறுவதற்கு முதல் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை எடுத்துக் கொண்டால் போதும்.
இவ்வாறு, நாம் காண்கிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு #4. ஒருங்கிணைந்த ∫ 0 1 4 e x 2 இலிருந்து 0.001 க்குள் கணக்கிடவும்.
முடிவு.
. இதன் விளைவாக வரும் தொடரின் இரண்டாவது தவணைக்குப் பிறகு மீதியை நிராகரிக்க முடியுமா என்று பார்க்கலாம்.
0.0001<0.001. Следовательно, .

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் பிரதான காரணிகளின் விளைபொருளாக சிதைக்க முடியும். 5733 போன்ற பெரிய எண்களைக் கையாள்வது உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், அவற்றை எவ்வாறு முதன்மைக் காரணிகளாகக் கணக்கிடுவது என்பதை அறிக (இந்த விஷயத்தில், 3 x 3 x 7 x 7 x 13). கிரிப்டோகிராஃபியில் இதேபோன்ற பணி அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படுகிறது, இது தகவல் பாதுகாப்பு சிக்கல்களைக் கையாளுகிறது. உங்களின் சொந்த பாதுகாப்பான மின்னஞ்சல் அமைப்பை உருவாக்க நீங்கள் தயாராக இல்லை என்றால், எண்களை எப்படி முதன்மை காரணிகளாக மாற்றுவது என்பதை முதலில் அறிந்து கொள்ளுங்கள்.

படிகள்

பகுதி 1

முதன்மை காரணிகளைக் கண்டறிதல்

1. அசல் எண்ணுடன் தொடங்கவும். 3 ஐ விட அதிகமான கூட்டு எண்ணைத் தேர்வு செய்யவும். பகா எண்ணை எடுப்பதில் அர்த்தமில்லை, ஏனெனில் அது தன்னாலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடும்.

   • எடுத்துக்காட்டு: எண் 24 ஐ பகா எண்களின் பெருக்கமாக சிதைக்கிறோம்.

2. இந்த எண்ணை இரண்டு காரணிகளின் பெருக்கத்தில் சிதைப்போம்.அசல் எண்ணுக்கு சமமான இரண்டு சிறிய எண்களைக் கண்டறியவும். நீங்கள் எந்தப் பெருக்கிகளையும் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் முதன்மை எண்களை எடுப்பது எளிது. ஒரு நல்ல வழி என்னவென்றால், அசல் எண்ணை முதலில் 2 ஆல் வகுத்து, பின்னர் 3 ஆல், பின்னர் 5 ஆல் வகுத்து, அந்த ப்ரைம்களில் எது வகுபடுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

   • எடுத்துக்காட்டு: எண் 24க்கான காரணிகள் உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், அதை சிறிய பகா எண்களால் வகுக்க முயற்சிக்கவும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண் 2: 24 = ஆல் வகுபடுவதை நீங்கள் காண்பீர்கள் 2 x 12. இது ஒரு நல்ல தொடக்கம்.
   • 2 என்பது பிரதான எண் என்பதால், இரட்டை எண்களை சிதைக்கும் போது அதைப் பயன்படுத்துவது நல்லது.

3. ஒரு பெருக்கி மரத்தை உருவாக்கத் தொடங்குங்கள்.இந்த எளிய செயல்முறையானது எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் காரணியாக்க உதவும். தொடங்குவதற்கு, அசல் எண்ணிலிருந்து இரண்டு "கிளைகளை" கீழே வரையவும். ஒவ்வொரு கிளையின் முடிவிலும், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பெருக்கிகளை எழுதவும்.

   • உதாரணமாக:

4. பின்வரும் எண்களின் வரிசையை காரணியாக்குங்கள்.இரண்டு புதிய எண்களைப் பாருங்கள் (பெருக்கி மரத்தின் இரண்டாவது வரிசை). அவை இரண்டும் பகா எண்களா? அவற்றில் ஒன்று முதன்மையாக இல்லாவிட்டால், அதை இரண்டு காரணிகளாகக் கூறுங்கள். மேலும் இரண்டு கிளைகளை வரைந்து, மரத்தின் மூன்றாவது வரியில் இரண்டு புதிய பெருக்கிகளை எழுதவும்.

   • எடுத்துக்காட்டு: 12 ஒரு பகா எண் அல்ல, எனவே அது காரணியாக இருக்க வேண்டும். நாம் சிதைவு 12 = 2 x 6 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை மரத்தின் மூன்றாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:
   • 2x6

5. மரத்திலிருந்து கீழே நகரவும்.புதிய காரணிகளில் ஒன்று முதன்மை எண்ணாக மாறினால், அதிலிருந்து ஒரு "கிளை"யை வரைந்து அதன் முடிவில் அதே எண்ணை எழுதவும். பிரதான எண்கள் சிறிய காரணிகளாக சிதைவதில்லை, எனவே அவற்றை கீழே உள்ள நிலைக்கு மாற்றவும்.

   • எடுத்துக்காட்டு: 2 என்பது பகா எண். 2 ஐ இரண்டாவது முதல் மூன்றாவது வரிக்கு நகர்த்தவும்:
   • 2 2 6

6. பிரதான எண்கள் மட்டுமே இருக்கும் வரை காரணி எண்களை வைத்திருங்கள்.மரத்தின் ஒவ்வொரு புதிய வரியையும் சரிபார்க்கவும். புதிய காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பகா எண்ணாக இல்லாவிட்டால், அதைக் காரணிப்படுத்தி புதிய வரியை எழுதவும். இறுதியில், உங்களுக்கு பிரதான எண்கள் மட்டுமே மிச்சமாகும்.

   • எடுத்துக்காட்டு: 6 என்பது பகா எண் அல்ல, எனவே அதுவும் காரணியாக இருக்க வேண்டும். அதே நேரத்தில், 2 என்பது ஒரு பிரதான எண், மேலும் இரண்டு 2களை அடுத்த நிலைக்கு கொண்டு செல்கிறோம்:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. பிரதான காரணிகளின் விளைபொருளாக கடைசி வரியை எழுதவும்.இறுதியில், உங்களுக்கு பிரதான எண்கள் மட்டுமே மிச்சமாகும். இது நிகழும்போது, ​​முதன்மை காரணியாக்கம் முடிந்தது. கடைசி வரி என்பது பகா எண்களின் தொகுப்பாகும், அதன் தயாரிப்பு அசல் எண்ணைக் கொடுக்கும்.

   • உங்கள் பதிலைச் சரிபார்க்கவும்: கடைசி வரியில் உள்ள எண்களைப் பெருக்கவும். முடிவு அசல் எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.
   • எடுத்துக்காட்டு: காரணி மரத்தின் கடைசி வரிசையில் 2 மற்றும் 3 எண்கள் உள்ளன. இந்த இரண்டு எண்களும் முதன்மையானவை, எனவே விரிவாக்கம் முடிந்தது. எனவே, எண் 24 ஐ பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • பெருக்கிகளின் வரிசை முக்கியமில்லை. விரிவாக்கத்தை 2 x 3 x 2 x 2 என்றும் எழுதலாம்.

8. நீங்கள் விரும்பினால், பவர் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி உங்கள் பதிலை எளிதாக்குங்கள்.எண்களை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால், உங்கள் பதிலை எளிமையான முறையில் எழுதலாம். அடித்தளம் கீழே எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் இந்த அடிப்படையை எத்தனை முறை பெருக்க வேண்டும் என்பதை சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் எண் காட்டுகிறது.

   • எடுத்துக்காட்டு: 2 x 2 x 2 x 3 இன் விரிவாக்கத்தில் எண் 2 எத்தனை முறை தோன்றும்? மூன்று முறை, எனவே 2 x 2 x 2 என்ற வெளிப்பாட்டை 2 3 என எழுதலாம். எளிமைப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டில், நாம் பெறுகிறோம் 23x3.

   பகுதி 2

   முதன்மை காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல்

   1. இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் (GCD) இரண்டு எண்களும் மீதி இல்லாமல் வகுபடும் அதிகபட்ச எண்ணாகும். 30 மற்றும் 36 இன் மிகப் பெரிய பொதுவான காரணியைக் கண்டறிய முதன்மை காரணியாக்கத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது.

      • இரண்டு எண்களையும் பிரதான காரணிகளாக சிதைப்போம். எண் 30 க்கு, விரிவாக்கம் 2 x 3 x 5 ஆகும். எண் 36 முக்கிய காரணிகளாக பின்வருமாறு பிரிக்கப்படுகிறது: 2 x 2 x 3 x 3.
      • இரண்டு விரிவாக்கங்களிலும் நிகழும் எண்ணைக் கண்டறியவும். இரண்டு பட்டியல்களிலும் இந்த எண்ணைக் கடந்து புதிய வரியில் எழுதுகிறோம். உதாரணமாக, 2 இரண்டு விரிவாக்கங்களில் ஏற்படுகிறது, எனவே நாம் எழுதுகிறோம் 2 ஒரு புதிய வரியில். அதன் பிறகு, நமக்கு 30 = 2 x 3 x 5 மற்றும் 36 = 2 x 2 x 3 x 3 ஆகியவை உள்ளன.
      • விரிவாக்கங்களில் பொதுவான காரணிகள் எஞ்சியிருக்கும் வரை இந்தச் செயலை மீண்டும் செய்யவும். இரண்டு பட்டியல்களிலும் எண் 3 உள்ளது, எனவே ஒரு புதிய வரியில் நாம் எழுதலாம் 2 மற்றும் 3 . அதன் பிறகு, விரிவாக்கங்களை மீண்டும் ஒப்பிடுக: 30 = 2 x 3 x 5 மற்றும் 36 = 2 x 2 x 3 x 3. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அவற்றில் பொதுவான காரணிகள் எதுவும் இல்லை.
      • மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறிய, அனைத்து பொதுவான காரணிகளின் விளைபொருளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இவை 2 மற்றும் 3, எனவே gcd 2 x 3 = 6 . 30 மற்றும் 36 எண்கள் மீதம் இல்லாமல் வகுபடும் மிகப்பெரிய எண் இதுவாகும்.

   2. பின்னங்களை எளிமையாக்க GCDஐப் பயன்படுத்தலாம்.ஒரு பகுதியைக் குறைக்கலாம் என்று நீங்கள் சந்தேகித்தால், மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைப் பயன்படுத்தவும். எண் மற்றும் வகுப்பின் ஜிசிடியைக் கண்டறிய மேலே உள்ள நடைமுறையைப் பயன்படுத்தவும். பின்னர் அந்த எண்ணால் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கவும். இதன் விளைவாக, நீங்கள் அதே பகுதியை எளிமையான வடிவத்தில் பெறுவீர்கள்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 30/36 என்ற பின்னத்தை எளிதாக்குவோம். நாம் மேலே கூறியது போல், 30 மற்றும் 36 GCD 6 ஆகும், எனவே நாம் எண் மற்றும் வகுப்பினை 6 ஆல் வகுக்கிறோம்:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. இரண்டு எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.இரண்டு எண்களின் குறைவான பொதுவான பல (LCM) என்பது கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களாலும் சமமாக வகுபடும் சிறிய எண்ணாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 2 மற்றும் 3 இன் LCM 6 ஆகும், ஏனெனில் இது 2 மற்றும் 3 ஆல் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்ணாகும். முதன்மை காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி LCM ஐக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது:

      • பிரதான காரணிகளாக இரண்டு காரணிப்படுத்தல்களுடன் தொடங்குகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, 126 என்ற எண்ணுக்கு, விரிவாக்கத்தை 2 x 3 x 3 x 7 என எழுதலாம். எண் 84 ஆனது 2 x 2 x 3 x 7 வடிவில் பிரதான காரணிகளாக சிதைகிறது.
      • விரிவாக்கங்களில் ஒவ்வொரு காரணியும் எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம். பெருக்கி அதிகபட்ச முறை நிகழும் பட்டியலைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த இடத்தை வட்டமிடுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 2 ஆனது 126க்கான விரிவாக்கத்தில் ஒரு முறையும், 84க்கான பட்டியலில் இரண்டு முறையும் நிகழ்கிறது, எனவே வட்டம் 2x2இரண்டாவது பெருக்கி பட்டியலில்.
      • ஒவ்வொரு பெருக்கிக்கும் இந்த செயலை மீண்டும் செய்யவும். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் விரிவாக்கத்தில் 3 அடிக்கடி நிகழ்கிறது, எனவே அதை வட்டமிடுங்கள் 3x3. இரண்டு பட்டியல்களிலும் 7 என்ற எண் ஒருமுறை தோன்றும், எனவே வட்டமிடுங்கள் 7 (இரண்டு பட்டியல்களிலும் கொடுக்கப்பட்ட காரணி ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட்டால், எந்த பட்டியலில் இருந்தாலும் பரவாயில்லை).
      • LCMஐக் கண்டுபிடிக்க, வட்டமிட்ட எண்கள் அனைத்தையும் பெருக்கவும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 126 மற்றும் 84 இன் மிகவும் பொதுவான பெருக்கல் 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. மீதம் இல்லாமல் 126 மற்றும் 84 ஆல் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண் இதுவாகும்.

   4. பின்னங்களைச் சேர்க்க LCM ஐப் பயன்படுத்தவும்.இரண்டு பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​​​அவற்றை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர வேண்டும். இதைச் செய்ய, இரண்டு பிரிவுகளின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினையும் அத்தகைய எண்ணால் பெருக்கவும், பின்னங்களின் வகுப்பான்கள் LCM க்கு சமமாக மாறும். அதன் பிறகு, நீங்கள் பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 1 / 6 + 4 / 21 இன் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
      • மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி, 6 மற்றும் 21க்கான LCM ஐக் கண்டறியலாம். இது 42க்கு சமம்.
      • பின்னம் 1/6 ஐ அதன் வகுத்தல் 42 ஆக மாற்றவும். இதைச் செய்ய, 42 ஐ 6: 42 ÷ 6 = 7 ஆல் வகுக்கவும். இப்போது பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 7: 1/6 x 7/7 = 7/ ஆல் பெருக்கவும். 42.
      • இரண்டாவது பின்னத்தை 42 க்கு கொண்டு வர, 42 ஐ 21 ஆல் வகுக்கவும்: 42 ÷ 21 = 2. பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 ஆல் பெருக்கவும்.
      • பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட்ட பிறகு, அவற்றை எளிதாகச் சேர்க்கலாம்: 7/42 + 8/42 = 15/42.

(a + b) n இன் அதிகாரங்களைக் கொண்ட பின்வரும் வெளிப்பாடுகளைக் கவனியுங்கள், இதில் a + b என்பது ஏதேனும் இருசொல் மற்றும் n என்பது ஒரு முழு எண்.

ஒவ்வொரு வெளிப்பாடும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. எல்லா வெளிப்பாடுகளிலும், நீங்கள் அம்சங்களைக் கவனிக்கலாம்.

1. ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும், அடுக்கு n ஐ விட ஒரு சொல் அதிகமாக உள்ளது.

2. ஒவ்வொரு காலத்திலும், அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகை n க்கு சமம், அதாவது. பினாமி உயர்த்தப்படும் அதிகாரம்.

3. சக்திகள் இருசொல் சக்தி n இலிருந்து தொடங்கி 0 ஐ நோக்கிக் குறையும். கடைசிச் சொல்லுக்கு காரணி ஏ இல்லை. முதல் வார்த்தைக்கு காரணி b இல்லை, அதாவது. b இன் சக்திகள் 0 இல் தொடங்கி n ஆக அதிகரிக்கும்.

4. குணகங்கள் 1 இல் தொடங்கி சில மதிப்புகளால் "பாதி வழி" வரை அதிகரிக்கும், பின்னர் அதே மதிப்புகள் 1 க்கு குறையும்.

குணகங்களைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். (a + b) 6 மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாங்கள் இப்போது கவனித்த அம்சத்தின்படி, இங்கு 7 உறுப்பினர்கள் இருக்க வேண்டும்
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
ஆனால் ஒவ்வொரு குணகத்தின் மதிப்பையும் எப்படி தீர்மானிக்க முடியும், c i ? இதை நாம் இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் முறையானது, கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு முக்கோணத்தில் குணகங்களை எழுதுவதை உள்ளடக்கியது. இது அறியப்படுகிறது பாஸ்கலின் முக்கோணம் :


முக்கோணத்தில் பல அம்சங்கள் உள்ளன. உங்களால் முடிந்தவரை கண்டுபிடிக்கவும்.
மேலே உள்ள வரியில் உள்ள எண்களைப் பயன்படுத்தி அடுத்த வரி எண்களை எழுதுவதற்கான வழியை நீங்கள் கண்டுபிடித்திருக்கலாம். அலகுகள் எப்போதும் பக்கங்களிலும் அமைந்துள்ளன. மீதமுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் அந்த எண்ணுக்கு மேலே உள்ள இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். நாம் கண்டறிந்த அம்சங்களைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வரியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் வெளிப்பாடு (a + b) 6 இன் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்:

என்பதை கடைசி வரியில் காண்கிறோம்

முதல் மற்றும் கடைசி எண் 1 ;
இரண்டாவது எண் 1 + 5, அல்லது 6 ;
மூன்றாவது எண் 5 + 10, அல்லது 15 ;
நான்காவது எண் 10 + 10, அல்லது 20 ;
ஐந்தாவது எண் 10 + 5, அல்லது 15 ; மற்றும்
ஆறாவது எண் 5 + 1, அல்லது 6 .

எனவே வெளிப்பாடு (a + b) 6 சமமாக இருக்கும்
(a + b) 6 = 1 ஒரு 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab5 + 1 b6.

சக்தி (a + b) 8 க்கு உயர்த்த, பாஸ்கலின் முக்கோணத்திற்கு இரண்டு வரிகளை நிரப்புகிறோம்:

பிறகு
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

எங்கள் முடிவுகளை பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்.

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி நியூட்டனின் இருசொல்

எந்த பைனோமியலுக்கும் a + b மற்றும் எந்த இயற்கை எண் n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
இதில் c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n ஆகிய எண்கள் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் (n + 1) தொடரிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1அதிகாரத்திற்கு உயர்த்த: (u - v) 5 .

முடிவுஎங்களிடம் (a + b) n உள்ளது, இதில் a = u, b = -v மற்றும் n = 5. பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் 6வது வரிசையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
1 5 10 10 5 1
பிறகு எங்களிடம் உள்ளது
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் + மற்றும் - இடையே ஏற்ற இறக்கமாக இருப்பதைக் கவனிக்கவும். -v இன் சக்தி ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருக்கும்போது, ​​அடையாளம் -.

எடுத்துக்காட்டு 2சக்தியை உயர்த்தவும்: (2t + 3/t) 4 .

முடிவுஎங்களிடம் (a + b) n உள்ளது, இதில் a = 2t, b = 3/t மற்றும் n = 4. பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் 5வது வரிசையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
1 4 6 4 1
பிறகு எங்களிடம் உள்ளது

காரணி மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி இருசொல் சிதைவு

(a + b) 11 மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்துவதன் தீமை என்னவென்றால், தேவையான வரிசையைப் பெற முக்கோணத்தின் அனைத்து முந்தைய வரிசைகளையும் நாம் கணக்கிட வேண்டும். பின்வரும் முறை இதைத் தவிர்க்கிறது. மற்ற எல்லா வரிகளையும் கணக்கிடாமல் ஒரு குறிப்பிட்ட வரியை - 8 வது வரியைச் சொல்லவும் - இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த முறை கணக்கீடுகள், புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் அதைப் பயன்படுத்துவதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஈருறுப்புக் குணகக் குறியீடு .
நியூட்டனின் பைனோமியலை நாம் பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்.

பைனோமியல் நியூட்டன் காரணி குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது

எந்த இருசொல்லுக்கும் (a + b) மற்றும் எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n,
.

நியூட்டனின் பைனோமியலை கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும். அவள் ஏன் காட்டுகிறாள் ஈருறுப்புக் குணகம் .

எடுத்துக்காட்டு 3சக்தியை உயர்த்தவும்: (x 2 - 2y) 5 .

முடிவுஎங்களிடம் (a + b) n , அங்கு a = x 2 , b = -2y, மற்றும் n = 5. பிறகு, நியூட்டனின் பைனோமியலைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளது


இறுதியாக, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

எடுத்துக்காட்டு 4சக்தியை உயர்த்தவும்: (2/x + 3√x ) 4 .

முடிவுஎங்களிடம் (a + b) n , அங்கு a = 2/x, b = 3√x , மற்றும் n = 4. பிறகு, நியூட்டனின் பைனோமியலைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்


இறுதியாக (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பினரைக் கண்டறிதல்

ஒரு வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒரு சொல்லின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு உறுப்பினரை நாம் தீர்மானிக்க விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாங்கள் உருவாக்கிய முறையானது பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் அனைத்து வரிசைகளையும் அல்லது முந்தைய அனைத்து குணகங்களையும் கணக்கிடாமல் இந்த வார்த்தையைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும்.

நியூட்டனின் பைனோமியலில் நமக்கு 1வது டெர்ம் கொடுக்கிறது, 2வது டெர்ம் கொடுக்கிறது, 3வது டெர்ம் கொடுக்கிறது, இன்னும் பல. இதை பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறலாம்.

(k + 1) சொல் கண்டறிதல்

(k + 1) வெளிப்பாட்டின் சொல் (a + b) n என்பது .

எடுத்துக்காட்டு 5வெளிப்பாடு (2x - 5y) 6 இல் 5வது சொல்லைக் கண்டறியவும்.

முடிவுமுதலில், 5 = 4 + 1 என்பதைக் கவனியுங்கள். பின்னர் k = 4, a = 2x, b = -5y, மற்றும் n = 6. பின்னர் வெளிப்பாட்டின் 5வது சொல்

எடுத்துக்காட்டு 6வெளிப்பாட்டின் (3x - 2) 10 இல் 8வது சொல்லைக் கண்டறியவும்.

முடிவுமுதலில், 8 = 7 + 1 என்பதைக் கவனியுங்கள். பின்னர் k = 7, a = 3x, b = -2 மற்றும் n = 10. பின்னர் வெளிப்பாட்டின் 8 வது சொல்

துணைக்குழுக்களின் மொத்த எண்ணிக்கை

தொகுப்பில் n பொருள்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். கே உறுப்புகளைக் கொண்ட துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை . ஒரு தொகுப்பின் மொத்த துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை என்பது 0 உறுப்புகளைக் கொண்ட துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை, அத்துடன் 1 உறுப்பு கொண்ட துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை, அத்துடன் 2 உறுப்புகள் கொண்ட துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் பல. n உறுப்புகள் கொண்ட தொகுப்பின் மொத்த துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை
.
இப்போது எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் (1 + 1) n ஐக் கருத்தில் கொள்வோம்:

.
அதனால். துணைக்குழுக்களின் மொத்த எண்ணிக்கை (1 + 1) n , அல்லது 2 n . பின்வருவனவற்றை நிரூபித்துள்ளோம்.

துணைக்குழுக்களின் மொத்த எண்ணிக்கை

n உறுப்புகள் கொண்ட தொகுப்பின் மொத்த துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை 2 n ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7தொகுப்பில் (A, B, C, D, E) எத்தனை துணைக்குழுக்கள் உள்ளன?

முடிவுதொகுப்பில் 5 கூறுகள் உள்ளன, பின்னர் துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை 2 5 அல்லது 32 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 8வெண்டியின் உணவகச் சங்கிலி ஹாம்பர்கர்களுக்கு பின்வரும் டாப்பிங்ஸை வழங்குகிறது:
{கெட்ச்அப், கடுகு, மயோனைசே, தக்காளி, கீரை, வெங்காயம், காளான்கள், ஆலிவ்கள், சீஸ்}.
ஹாம்பர்கரின் அளவுகள் அல்லது அளவுகளைத் தவிர்த்து, வெண்டி எத்தனை விதமான ஹாம்பர்கர்களை வழங்க முடியும்?

முடிவுஒவ்வொரு ஹாம்பர்கருக்கான டாப்பிங்ஸ் என்பது சாத்தியமான அனைத்து டாப்பிங்ஸின் துணைக்குழுவின் கூறுகளாகும், மேலும் காலியான தொகுப்பு ஒரு ஹாம்பர்கராகும். சாத்தியமான ஹாம்பர்கர்களின் மொத்த எண்ணிக்கை இருக்கும்

. இவ்வாறு, வெண்டி 512 வெவ்வேறு ஹாம்பர்கர்களை வழங்க முடியும்.