எண் a என்பதை நிரூபிக்கவும். பகுத்தறிவு எண்கள், வரையறை, எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த கட்டுரையில் நாம் படிக்கத் தொடங்குவோம் விகிதமுறு எண்கள். இங்கே நாம் விகிதமுறு எண்களின் வரையறைகளை வழங்குகிறோம், தேவையான விளக்கங்களை வழங்குகிறோம் மற்றும் விகிதமுறு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை தருகிறோம். அதன் பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட எண் பகுத்தறிவா இல்லையா என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

பகுத்தறிவு எண்களின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த துணைப்பிரிவில் நாம் பகுத்தறிவு எண்களின் பல வரையறைகளை தருகிறோம். சொற்களில் வேறுபாடுகள் இருந்தபோதிலும், இந்த அனைத்து வரையறைகளும் ஒரே பொருளைக் கொண்டுள்ளன: முழு எண்கள் இயற்கை எண்கள், அவற்றின் எதிர் எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜிய எண்களை ஒன்றிணைப்பது போல, பகுத்தறிவு எண்கள் முழு எண்களையும் பின்ன எண்களையும் இணைக்கின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பகுத்தறிவு எண்கள் முழு மற்றும் பின்ன எண்களை பொதுமைப்படுத்துகின்றன.

ஆரம்பிப்போம் பகுத்தறிவு எண்களின் வரையறைகள்இது மிகவும் இயற்கையானதாக கருதப்படுகிறது.

ஒலித்த வரையறையிலிருந்து, விகிதமுறு எண் என்பது பின்வருமாறு:

• ஏதேனும் இயற்கை எண் n உண்மையில், எந்த இயற்கை எண்ணையும் ஒரு சாதாரண பின்னமாக குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 3=3/1.
• எந்த முழு எண், குறிப்பாக எண் பூஜ்ஜியம். உண்மையில், எந்த முழு எண்ணையும் நேர்மறை பொதுவான பின்னமாகவோ அல்லது எதிர்மறையான பொதுவான பின்னமாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ எழுதலாம். உதாரணமாக, 26=26/1 , .
• எந்த சாதாரண பின்னமும் (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை). இது பகுத்தறிவு எண்களின் கொடுக்கப்பட்ட வரையறையால் நேரடியாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.
• ஏதேனும் கலப்பு எண். உண்மையில், கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பொதுவான பின்னமாகக் குறிப்பிடுவது எப்போதும் சாத்தியமாகும். உதாரணமாக, மற்றும்.
• ஏதேனும் வரையறுக்கப்பட்ட தசம அல்லது எல்லையற்ற கால பின்னம். குறிப்பிட்ட தசம பின்னங்கள் சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றப்படுவதே இதற்குக் காரணம். எடுத்துக்காட்டாக, , மற்றும் 0,(3)=1/3 .

எந்தவொரு முடிவிலா, திரும்பத் திரும்ப வராத தசமமும் ஒரு பகுத்தறிவு எண் அல்ல என்பதும் தெளிவாகிறது, ஏனெனில் அதை ஒரு பொதுவான பின்னமாகக் குறிப்பிட முடியாது.

இப்போது நாம் எளிதாக கொண்டு வரலாம் பகுத்தறிவு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். 4, 903, 100,321 எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்பதால் அவை விகிதமுறு எண்கள். முழு எண்கள் 58 , −72 , 0 , −833 333 333 ஆகியவையும் பகுத்தறிவு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். சாதாரண பின்னங்கள் 4/9, 99/3, விகிதமுறு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். பகுத்தறிவு எண்களும் எண்களே.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை பகுத்தறிவு எண்கள் இரண்டும் இருப்பதைக் காட்டுகின்றன, மேலும் பகுத்தறிவு எண் பூஜ்ஜியம் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையானது அல்ல.

பகுத்தறிவு எண்களின் மேலே உள்ள வரையறையை குறுகிய வடிவத்தில் உருவாக்கலாம்.

வரையறை.

விகிதமுறு எண்கள் z/n என்ற பின்னமாக எழுதக்கூடிய அழைப்பு எண்கள், இங்கு z ஒரு முழு எண் மற்றும் n என்பது இயற்கையான எண்.

பகுத்தறிவு எண்களின் இந்த வரையறை முந்தைய வரையறைக்கு சமமானது என்பதை நிரூபிப்போம். பிரிவின் அடையாளமாக ஒரு பின்னத்தின் பட்டியைக் கருதலாம் என்பதை நாம் அறிவோம், பின்னர் முழு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகள் மற்றும் முழு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகள் ஆகியவற்றிலிருந்து பின்வரும் சமத்துவங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன மற்றும் . எனவே, இது ஆதாரம்.

இந்த வரையறையின் அடிப்படையில் பகுத்தறிவு எண்களின் உதாரணங்களை நாங்கள் தருகிறோம். எண்கள் −5 , 0 , 3 , மற்றும் அவை பகுத்தறிவு எண்கள், ஏனெனில் அவை முறையே முழு எண் எண் மற்றும் வடிவத்தின் இயற்கையான வகுப்பைக் கொண்டு பின்னங்களாக எழுதப்படலாம்.

பகுத்தறிவு எண்களின் வரையறையை பின்வரும் சூத்திரத்திலும் கொடுக்கலாம்.

வரையறை.

விகிதமுறு எண்கள்வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற கால தசம பின்னமாக எழுதக்கூடிய எண்கள்.

இந்த வரையறையும் முதல் வரையறைக்கு சமமானதாகும், ஏனெனில் எந்த ஒரு சாதாரண பின்னமும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது குறிப்பிட்ட கால தசம பின்னம் மற்றும் நேர்மாறாக ஒத்துள்ளது, மேலும் எந்த முழு எண்ணையும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு பூஜ்ஜியங்களுடன் தசம பின்னத்துடன் தொடர்புபடுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 5 , 0 , −13 , பகுத்தறிவு எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள், ஏனெனில் அவை பின்வரும் தசமங்கள் 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 மற்றும் −7,(18) என எழுதப்படலாம்.

இந்த பிரிவின் கோட்பாட்டை பின்வரும் அறிக்கைகளுடன் முடிக்கிறோம்:

• முழு எண் மற்றும் பின்ன எண்கள் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை) பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன;
• ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணையும் ஒரு முழு எண் எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை வகுப்பைக் கொண்ட பின்னமாகக் குறிப்பிடலாம், மேலும் அத்தகைய ஒவ்வொரு பின்னமும் சில பகுத்தறிவு எண்ணாகும்;
• ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணையும் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற கால தசம பின்னமாக குறிப்பிடலாம், மேலும் இதுபோன்ற ஒவ்வொரு பின்னமும் சில விகிதமுறு எண்ணைக் குறிக்கும்.

இந்த எண் நியாயமானதா?

முந்தைய பத்தியில், எந்தவொரு இயற்கை எண், எந்த முழு எண், எந்த சாதாரண பின்னம், எந்த கலப்பு எண், எந்த இறுதி தசம பின்னம் மற்றும் எந்த கால தசம பின்னமும் ஒரு பகுத்தறிவு எண் என்பதைக் கண்டறிந்தோம். எழுதப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து பகுத்தறிவு எண்களை "அங்கீகரிக்க" இந்த அறிவு அனுமதிக்கிறது.

ஆனால், அந்த எண்ணை சிலவாகக் கொடுத்தால் , அல்லது , போன்றவற்றைக் கொடுத்தால், கேள்விக்கு எப்படிப் பதிலளிப்பது, கொடுக்கப்பட்ட எண் பகுத்தறிவா? பல சந்தர்ப்பங்களில், அதற்கு பதில் சொல்வது மிகவும் கடினம். சிந்தனையின் போக்கிற்கு சில திசைகளை சுட்டிக்காட்டுவோம்.

என எண் கொடுத்தால் எண் வெளிப்பாடு, இதில் பகுத்தறிவு எண்கள் மற்றும் எண்கணித செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகள் மட்டுமே உள்ளன (+, -, · மற்றும்:), பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாகும். பகுத்தறிவு எண்களின் செயல்பாடுகள் எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதிலிருந்து இது பின்வருமாறு. எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் அனைத்து செயல்பாடுகளையும் செய்த பிறகு, நாம் ஒரு பகுத்தறிவு எண் 18 ஐப் பெறுகிறோம்.

சில நேரங்களில், வெளிப்பாடுகள் மற்றும் பலவற்றை எளிமைப்படுத்திய பிறகு சிக்கலான வகை, கொடுக்கப்பட்ட எண் பகுத்தறிவு என்பதை தீர்மானிக்க முடியும்.

மேலும் செல்வோம். எண் 2 என்பது பகுத்தறிவு எண், ஏனெனில் எந்த இயற்கை எண்ணும் பகுத்தறிவு ஆகும். எண் பற்றி என்ன? இது பகுத்தறிவா? இல்லை, இது ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல, இது ஒரு விகிதமுறா எண் (முரண்பாட்டின் மூலம் இந்த உண்மைக்கான ஆதாரம் குறிப்புகளின் பட்டியலில் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள 8 ஆம் வகுப்பு இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது). ஒரு இயற்கை எண்ணின் வர்க்கமூலம் ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாக இருக்கும் என்பதும் நிரூபணமானது, அந்தச் சமயங்களில் மூலத்தின் கீழ் சில இயற்கை எண்ணின் சரியான வர்க்கமாக இருக்கும் எண் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் 81=9 2 மற்றும் 1024=32 2 முதல் விகிதமுறு எண்கள், மற்றும் எண்கள் மற்றும் பகுத்தறிவு இல்லை, ஏனெனில் எண்கள் 7 மற்றும் 199 இயற்கை எண்களின் சரியான சதுரங்கள் அல்ல.

எண் பகுத்தறிவு உள்ளதா இல்லையா? இந்த வழக்கில், இந்த எண் பகுத்தறிவு என்று பார்ப்பது எளிது. எண் பகுத்தறிவு உள்ளதா? மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் சில முழு எண்ணின் kth சக்தியாக இருந்தால் மட்டுமே முழு எண்ணின் kth மூலமானது பகுத்தறிவு எண் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, இது ஒரு பகுத்தறிவு எண் அல்ல, ஏனெனில் ஐந்தாவது சக்தி 121 ஆக இருக்கும் முழு எண் இல்லை.

சில எண்களின் மடக்கைகள், சில காரணங்களால், பகுத்தறிவு எண்கள் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க முரண்பாட்டின் முறை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, விகிதமுறு எண் அல்ல என்பதை நிரூபிப்போம்.

இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுங்கள், அதாவது, அது ஒரு பகுத்தறிவு எண் மற்றும் சாதாரண பின்னமாக m/n என எழுதலாம். பின்னர் பின்வரும் சமத்துவங்களைக் கொடுங்கள்: . கடைசி சமத்துவம் சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கத்தில் உள்ளது ஒற்றைப்படை எண் 5 n, மற்றும் வலது பக்கத்தில் இரட்டை எண் 2 மீ உள்ளது. எனவே, நமது அனுமானம் தவறானது, இது ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல.

முடிவில், எண்களின் பகுத்தறிவு அல்லது பகுத்தறிவற்ற தன்மையை தெளிவுபடுத்தும் போது, ​​​​ஒருவர் திடீர் முடிவுகளிலிருந்து விலகி இருக்க வேண்டும் என்பதை வலியுறுத்துவது மதிப்பு.

எடுத்துக்காட்டாக, விகிதாச்சார எண்கள் π மற்றும் e இன் பெருக்கல் ஒரு விகிதாசார எண் என்று ஒருவர் உடனடியாக வலியுறுத்தக்கூடாது, இது "வெளிப்படையானது", ஆனால் நிரூபிக்கப்படவில்லை. இது கேள்வியை எழுப்புகிறது: "ஏன் தயாரிப்பு ஒரு விகிதமான எண்ணாக இருக்க வேண்டும்"? ஏன் இல்லை, ஏனென்றால் நீங்கள் விகிதமுறு எண்களுக்கு ஒரு உதாரணம் கொடுக்கலாம், அதன் பெருக்கல் விகிதமுறு எண்ணைக் கொடுக்கிறது :.

எண்கள் மற்றும் பல எண்கள் பகுத்தறிவா இல்லையா என்பதும் தெரியவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, பகுத்தறிவற்ற சக்தி விகிதமுறு எண்கள் உள்ளன. விளக்குவதற்கு, படிவத்தின் ஒரு பட்டத்தை வழங்குவோம் , இந்த பட்டத்தின் அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு ஆகியவை விகிதமுறு எண்கள் அல்ல, ஆனால் 3 என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்.

நூல் பட்டியல்.

• கணிதம்.தரம் 6: பாடநூல். பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [என். யா. விலென்கின் மற்றும் பலர்]. - 22வது பதிப்பு., ரெவ். - எம்.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 கலங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; எட். எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம். : கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• குசெவ் வி. ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.கணிதம் (தொழில்நுட்ப பள்ளிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கையேடு): Proc. கொடுப்பனவு.- எம்.; உயர்ந்தது பள்ளி, 1984.-351 ப., நோய்.

அறிவுறுத்தல்

இருப்பினும், 136827658235479371 போன்ற எண்ணை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும் என்றால், தேடல் மிக நீண்டதாக இருக்கும். எனவே, கணக்கீட்டு நேரத்தை கணிசமாகக் குறைக்கும் விதிகளுக்கு நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

எண் கலவையாக இருந்தால், அதாவது, அது முதன்மை காரணிகளின் விளைபொருளாக இருந்தால், இந்த காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று குறைவாக இருக்க வேண்டும். சதுர வேர்கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இரண்டின் பலன், ஒவ்வொன்றும் சில X இன் வர்க்க மூலத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், நிச்சயமாக X ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், மேலும் இந்த இரண்டு எண்களும் அதன் வகுப்பிகளாக இருக்க முடியாது.

எனவே, ஒரு எளிய கணக்கீட்டில் கூட, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை மீறாத முழு எண்களை மட்டுமே சரிபார்க்க உங்களை கட்டுப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 157 என்ற எண்ணைச் சோதிக்கும் போது, ​​2 முதல் 13 வரையிலான சாத்தியமான காரணிகளை மட்டுமே நீங்கள் மீண்டும் செய்கிறீர்கள்.

உங்களிடம் கணினி இல்லையென்றால், எளிமைக்காக எண்ணை கைமுறையாக சரிபார்க்க வேண்டும் என்றால், எளிய மற்றும் வெளிப்படையான விதிகள் இங்கே மீட்புக்கு வரும். அறியப்பட்ட பகா எண்களை அறிவது உங்களுக்கு மிகவும் உதவும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கூட்டு எண்களால் வகுபடுவதைத் தனித்தனியாகச் சரிபார்ப்பதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை. முக்கிய காரணிகள்.

இரட்டைப்படை எண்வரையறையின்படி, அது முதன்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் இது 2 ஆல் வகுபடும். எனவே, ஒரு எண்ணின் கடைசி இலக்கம் சமமாக இருந்தால், அது வெளிப்படையாக கலவையாகும்.

5 ஆல் வகுபடும் எண்கள் எப்போதும் 5 அல்லது பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடையும். எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தைப் பார்ப்பது அவற்றைக் களைய உதவும்.

ஒரு எண்ணை 3 ஆல் வகுத்தால், அதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 136827658235479371 இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 + ஆகும். 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 \u003d 87. இந்த எண் மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுபடும்: 87 \u003d 29 * 3. எனவே, நமது எண்ணும் 3 ஆல் வகுபடும் மற்றும் கூட்டு.

11 ஆல் வகுபடுதலின் அடையாளம் மிகவும் எளிமையானது. எண்ணின் அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து அதன் அனைத்து இரட்டை இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கழிப்பது அவசியம். இரட்டை மற்றும் ஒற்றைப்படை முடிவில் இருந்து, அதாவது அலகுகளிலிருந்து எண்ணுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் வேறுபாடு 11 ஆல் வகுபடுமானால், கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணும் அதன் மூலம் வகுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, 2576562845756365782383 என்ற எண்ணைக் கொடுக்கலாம். அதன் இரட்டை இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 = 56. ஒற்றைப்படை இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3 + 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 \u003d 57. அவற்றுக்கிடையே உள்ள வேறுபாடு 1. இந்த எண் 11 ஆல் வகுபடாது, எனவே 11 கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல.

ஒரு எண்ணின் வகுக்கும் தன்மையை 7 மற்றும் 13 ஆல் இதே முறையில் சரிபார்க்கலாம். முடிவில் இருந்து தொடங்கி எண்ணை மும்மடங்கு இலக்கங்களாக பிரிக்கவும் (இது படிக்கக்கூடிய அச்சுக்கலைக் குறிப்புடன் செய்யப்படுகிறது). எண் 2576562845756365782383 ஆனது 2,576,562,845,756,365,782,383. ஒற்றைப்படை எண்களைத் தொகுத்து அவற்றிலிருந்து இரட்டை எண்களைக் கழிக்கவும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் (383 + 365 + 845 + 576) - (782 + 756 + 562 + 2) = 67 ஐப் பெறுவீர்கள். இந்த எண் 7 அல்லது 13 ஆல் வகுபடாது, அதாவது அவை கொடுக்கப்பட்டவற்றின் வகுப்பிகள் அல்ல. எண்.

குறிப்பு

மற்றவர்களாகப் பிரிக்கப்படுவதற்கான அறிகுறிகள் முதன்மை எண்கள்மிகவும் கடினமானது மற்றும் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை கையால் வகுத்து வகுக்க முயற்சிப்பது எளிது.

ஆதாரங்கள்:

• தொடக்கக் கணிதம் - வகுக்கும் அறிகுறிகள்

எரடோஸ்தீனஸின் சல்லடை, சுந்தரத்தின் சல்லடை மற்றும் அட்கின் சல்லடை ஆகியவை சில மதிப்புகள் வரையிலான முதன்மைகளின் பட்டியலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் பிரபலமான வழிகள். கொடுக்கப்பட்ட எண் முதன்மையானதா என்பதைச் சரிபார்க்க முதன்மை சோதனைகள் உள்ளன.

உனக்கு தேவைப்படும்

• கால்குலேட்டர், தாள் மற்றும் பென்சில் (பேனா)

அறிவுறுத்தல்

முறை 1. எரடோஸ்தீனஸின் சல்லடை.
இந்த முறையின்படி, X இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பை விட அதிகமாக இல்லாத அனைத்து பகா எண்களையும் கண்டுபிடிக்க, ஒன்று முதல் X வரையிலான அனைத்து முழு எண்களையும் ஒரு வரிசையில் எழுதுவது அவசியம். எண் 2 ஐ முதல் எண்ணாக எடுத்துக் கொள்வோம். 2 ஆல் வகுபடும் அனைத்து எண்களையும் பட்டியலிலிருந்து கடந்து செல்கிறோம். பிறகு அடுத்த எண்ணை , குறுக்கிடாமல் எடுத்து, பட்டியலிலிருந்து நாம் எடுத்த எண்ணால் வகுபடும் அனைத்து எண்களையும் கடக்கிறோம். பின்னர் ஒவ்வொரு முறையும் அடுத்த குறுக்கிடப்படாத எண்ணை எடுத்து, பட்டியலிலிருந்து நாம் எடுத்த எண்ணால் வகுபடும் அனைத்து எண்களையும் கடப்போம். நாம் தேர்ந்தெடுத்த எண் X/2 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் வரை. பட்டியலில் மீதமுள்ள அனைத்தும் எளிதல்ல

முறை 2. சுந்தரமா சல்லடை.
1 முதல் N வரையிலான இயற்கை எண்களின் வரிசையிலிருந்து படிவத்தின் அனைத்து எண்களும்
x + y + 2xy,
குறியீடுகள் x (y ஐ விட அதிகமாக இல்லை) அனைத்து இயற்கை மதிப்புகள் வழியாக இயங்கும், x+y+2xy N ஐ விட அதிகமாக இல்லை, அதாவது மதிப்புகள் x=1, 2,...,((2N+1) )1/2-1)/ 2 மற்றும் x=y, x+1,...,(N-x)/(2x+1)u. பின்னர் மீதமுள்ள எண்கள் ஒவ்வொன்றும் 2 மற்றும் 1 ஆல் பெருக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் வரிசையானது, ஒன்றிலிருந்து 2N+1 வரையிலான தொடரில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை பகா எண்களாகும்.

முறை 3. அட்கின் சல்லடை.
அட்கின் சல்லடை என்பது X இன் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு வரை அனைத்து பகா எண்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு சிக்கலான நவீன வழிமுறையாகும். கொடுக்கப்பட்ட சதுர வடிவங்களில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான பிரதிநிதித்துவங்களுடன் பகா எண்களை முழு எண்களாகக் குறிப்பிடுவதே அல்காரிதத்தின் முக்கிய சாராம்சம். அல்காரிதத்தின் ஒரு தனி நிலை 5 முதல் X வரையிலான வரம்பில் உள்ள ப்ரைம்களின் சதுரங்களின் மடங்குகளாக இருக்கும் எண்களை வடிகட்டுகிறது.

எளிமை சோதனைகள்.
ப்ரைமலிட்டி சோதனைகள் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் X என்பது முதன்மையானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கும் வழிமுறைகள் ஆகும்.
எளிமையான, ஆனால் நேரத்தைச் செலவழிக்கும் சோதனைகளில் ஒன்று வகுப்பிகளைக் கணக்கிடுவது. இது 2 முதல் X இன் வர்க்கமூலத்திற்கு உள்ள அனைத்து முழு எண்களையும் எடுத்து, இந்த ஒவ்வொரு எண்களாலும் X வகுக்கப்படும் போது மீதமுள்ளதைக் கணக்கிடுகிறது. X எண்ணை ஏதேனும் ஒரு எண்ணால் (1க்கு அதிகமாகவும் X ஐ விட குறைவாகவும்) வகுத்தால் மீதியானது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், X எண் கலவையாகும். X எண்ணை ஒன்று மற்றும் தன்னைத் தவிர வேறு எந்த எண்களாலும் மீதம் இல்லாமல் குறைக்க முடியாது என்று மாறிவிட்டால், X எண் முதன்மையானது.
இந்த முறைக்கு கூடுதலாக, எண்ணின் எளிமையைச் சோதிப்பதற்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான பிற சோதனைகளும் உள்ளன. இந்த சோதனைகளில் பெரும்பாலானவை நிகழ்தகவு மற்றும் குறியாக்கவியலில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பதிலுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கும் ஒரே சோதனை (AKS சோதனை) கணக்கிடுவது மிகவும் சிக்கலானது, இது நடைமுறையில் பயன்படுத்த கடினமாக உள்ளது.

ஒரு வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பின் வரையறையை இங்கே நாம் கருதுகிறோம். ஒரு வரிசை முடிவிலிக்கு மாறுவது பற்றிய வழக்கு "எல்லையற்ற பெரிய வரிசையின் வரையறை" பக்கத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

வரையறை

(x n), ஏதேனும் நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால் ε > 0 ε ஐப் பொறுத்து இயற்கை எண் N ε உள்ளது, அதாவது அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் n > N ε சமத்துவமின்மை
| x n - a|< ε .
ஒரு வரிசையின் வரம்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
அல்லது மணிக்கு.

சமத்துவமின்மையை மாற்றுவோம்:
;
;
.

திறந்த இடைவெளி (a - ε, a + ε ) என்று அழைக்கப்படுகிறது ε - புள்ளியின் அக்கம்.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது குவிந்த வரிசை. வரிசை என்றும் கூறப்படுகிறது ஒன்றிணைகிறதுஒரு. வரம்பு இல்லாத ஒரு வரிசை அழைக்கப்படுகிறது மாறுபட்ட.

வரிசைக்கு ஒரு வரம்பு இருந்தால் ε - நாம் தேர்ந்தெடுக்கும் புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் எதுவாக இருந்தாலும், வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் மட்டுமே, அல்லது எதுவும் (வெற்றுத் தொகுப்பு) வெளியே இருக்க முடியாது என்ற வரையறையிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. அதில். மேலும் எந்த ε - சுற்றுப்புறமும் எண்ணற்ற தனிமங்களைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை அமைப்பதன் மூலம் ε , அதன் மூலம் நமக்கு ஒரு எண் உள்ளது . எனவே எண்கள் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும், வரையறையின்படி, புள்ளி a யின் ε - அருகில் இருக்கும். முதல் கூறுகள் எங்கும் இருக்கலாம். அதாவது, ε - சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே தனிமங்களை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது - அதாவது வரையறுக்கப்பட்ட எண்.

வித்தியாசம் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டியதில்லை, அதாவது எல்லா நேரத்திலும் குறைகிறது. இது பூஜ்ஜியத்திற்கு ஏகபோகமாக இல்லாமல் போகலாம்: இது உள்ளூர் மாக்சிமாவைக் கொண்டு அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறைக்கலாம். இருப்பினும், இந்த அதிகபட்சம், அதிகரிக்கும் n உடன், பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் (ஒருவேளை ஏகபோகமாக இல்லாமல் இருக்கலாம்).

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி, வரம்பின் வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
(1) .

ஒரு வரம்பு அல்ல என்பதை தீர்மானித்தல்

இப்போது எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல என்ற மாற்றுக் கூற்றைக் கவனியுங்கள்.

எண் அ வரிசையின் வரம்பு அல்ல, எந்த இயற்கை n க்கும் அப்படி இருந்தால் அத்தகைய இயற்கை மீ உள்ளது > என், என்ன
.

தருக்கக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த அறிக்கையை எழுதுவோம்.
(2) .

என்று வலியுறுத்தல் எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல, என்று அர்த்தம்
நீங்கள் அத்தகைய ε - புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தை தேர்வு செய்யலாம், அதற்கு வெளியே வரிசையின் எண்ணற்ற கூறுகள் இருக்கும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒரு பொதுவான உறுப்புடன் ஒரு வரிசை கொடுக்கப்பட வேண்டும்
(3)
ஒரு புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் எண்ணற்ற உறுப்புகள் உள்ளன. இருப்பினும், இந்த புள்ளி வரிசையின் வரம்பு அல்ல, ஏனெனில் புள்ளியின் எந்த சுற்றுப்புறமும் எண்ணற்ற உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ε ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - ε = உடன் ஒரு புள்ளியின் அக்கம் 1 . இதுவே இடைவெளியாக இருக்கும் (-1, +1) . n ஐக் கொண்ட முதல் தனிமத்தைத் தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் ஒற்றைப்படை n கொண்ட அனைத்து கூறுகளும் இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே உள்ளன, ஏனெனில் அவை சமத்துவமின்மை x n ஐ பூர்த்தி செய்கின்றன > 2 . ஒற்றைப்படை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருப்பதால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே, புள்ளி என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல.

உறுதிமொழியை (2) கண்டிப்பாக கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதை இப்போது காண்பிப்போம். புள்ளி என்பது வரிசையின் வரம்பு அல்ல (3), ஏனெனில் அது உள்ளது, அதனால், எந்த இயற்கை n க்கும், சமத்துவமின்மைக்கு ஒற்றைப்படை n உள்ளது.
.

எந்த புள்ளியும் இந்த வரிசையின் வரம்பாக இருக்க முடியாது என்பதையும் காட்டலாம். புள்ளி 0 அல்லது புள்ளி 2 ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காத புள்ளி a -யின் சுற்றுப்புறத்தை நாம் எப்போதும் தேர்வு செய்யலாம். பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்திற்கு வெளியே வரிசையின் எண்ணற்ற கூறுகள் இருக்கும்.

சமமான வரையறை

ε - அக்கம் பக்கத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு வரிசையின் வரம்புக்கு சமமான வரையறையை நாம் கொடுக்க முடியும். ε-அருகாமைக்கு பதிலாக, புள்ளியின் ஏதேனும் அக்கம் பக்கத்தில் தோன்றினால், சமமான வரையறையைப் பெறுவோம்.

ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தை தீர்மானித்தல்
புள்ளி ஒரு அக்கம்இந்த புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும் எந்த திறந்த இடைவெளியும் அழைக்கப்படுகிறது. கணித ரீதியாக, சுற்றுப்புறம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: , எங்கே ε 1 மற்றும் ε 2 - தன்னிச்சையான நேர்மறை எண்கள்.

பின்னர் வரம்பு வரையறை பின்வருமாறு இருக்கும்.

வரிசை வரம்புக்கு சமமான வரையறை
எண் a வரிசையின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் சுற்றுப்புறங்களில் ஏதேனும் ஒரு இயற்கை எண் N இருந்தால், எண்கள் கொண்ட வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் இந்த சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தவை.

இந்த வரையறையை விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்திலும் வழங்கலாம்.

எண் a வரிசையின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏதேனும் நேர்மறை எண்களுக்கு இயற்கை எண் N இருந்தால், அதைப் பொறுத்து அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும்
.

வரையறைகளின் சமநிலைக்கான சான்று

ஒரு வரிசையின் வரம்புக்கு மேலே உள்ள இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்போம்.

முதல் வரையறையின்படி எண் a வரிசையின் வரம்பாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது , அதனால் எந்த நேர்மறை எண்ணிற்கும் ε பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருக்கும்:
(4) மணிக்கு.

இரண்டாவது வரையறையின்படியும் எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு என்பதைக் காட்டுவோம். அதாவது, அத்தகைய செயல்பாடு இருப்பதைக் காட்ட வேண்டும், அதனால் எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε 1 மற்றும் ε 2 பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன:
(5) மணிக்கு.

இரண்டு நேர்மறை எண்கள் இருக்கட்டும்: ε 1 மற்றும் ε 2 . மேலும் ε அவற்றில் மிகச் சிறியதாக இருக்கட்டும்: . பிறகு ; ; . இதை (5) இல் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
ஆனால் ஏற்றத்தாழ்வுகள் . பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) க்கு இருக்கும்.

அதாவது, எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் (5) வைத்திருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளோம் 1 மற்றும் ε 2 .
முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது எண் a என்பது இரண்டாவது வரையறையின்படி வரிசையின் வரம்பாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது , அதனால் எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் ε 1 மற்றும் ε 2 பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன:
(5) மணிக்கு.

எண் a என்பது வரிசையின் வரம்பு மற்றும் முதல் வரையறையின்படி காட்டுவோம். இதற்கு நீங்கள் வைக்க வேண்டும். பின்னர், பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன:
.
இது முதல் வரையறைக்கு ஒத்திருக்கிறது.
வரையறைகளின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

கொடுக்கப்பட்ட எண் a என்பது ஒரு வரிசையின் வரம்பு என்பதை நிரூபிக்க வேண்டிய பல எடுத்துக்காட்டுகளை இங்கே பார்க்கலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை எண்ணை ε அமைப்பது மற்றும் சமத்துவமின்மை அனைவருக்கும் திருப்தி அளிக்கும் வகையில் ε இன் செயல்பாட்டை N ஐ தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

என்பதை நிரூபிக்கவும்.

(1) .
எங்கள் விஷயத்தில்;
.

.
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

.
பிறகு
மணிக்கு.
இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் வரம்பு எண்:
.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதை நிரூபிக்கவும்
.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:
(1) .
எங்கள் விஷயத்தில், ;
.

நாங்கள் நேர்மறை எண்களை உள்ளிடுகிறோம் மற்றும்:
.
ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

அதாவது, எந்த நேர்மறைக்கும், இதை விட அதிகமான அல்லது சமமான எந்த இயற்கை எண்ணையும் நாம் எடுக்கலாம்:
.
பிறகு
மணிக்கு.
.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

நாங்கள் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், .
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
.
இயற்கை என் = 1, 2, 3, ... எங்களிடம் உள்ளது:
.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:
(1) .
நாங்கள் நேர்மறை எண்களை உள்ளிடுகிறோம் மற்றும்:
.
பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

அதாவது, எந்த நேர்மறைக்கும், இதை விட அதிகமான அல்லது சமமான எந்த இயற்கை எண்ணையும் நாம் எடுக்கலாம்:
.
இதில்
மணிக்கு.
இதன் பொருள் எண் வரிசையின் வரம்பு:
.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதை நிரூபிக்கவும்
.

ஒரு வரிசையின் வரம்பின் வரையறையை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:
(1) .
எங்கள் விஷயத்தில், ;
.

நாங்கள் நேர்மறை எண்களை உள்ளிடுகிறோம் மற்றும்:
.
பின்னர் என்றால் மற்றும், பின்னர்
.

அதாவது, எந்த நேர்மறைக்கும், இதை விட அதிகமான அல்லது சமமான எந்த இயற்கை எண்ணையும் நாம் எடுக்கலாம்:
.
பிறகு
மணிக்கு.
இதன் பொருள் எண் வரிசையின் வரம்பு:
.

குறிப்புகள்:
எல்.டி. குத்ரியவ்ட்சேவ். கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003.
முதல்வர் நிகோல்ஸ்கி. கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 1983.