كيفية تحليل رقم إلى حاصل ضرب العوامل الأولية. تحليل الأرقام إلى عوامل أولية وطرق وأمثلة على خوارزمية التحلل لتحليل رقم إلى عوامل أولية

ستجد في هذا المقال كافة المعلومات الضرورية التي تجيب على السؤال ، كيفية تحليل الرقم إلى عوامل. الفرضية الأولى فكرة عامةعند تحلل عدد إلى عوامل أولية ، يتم إعطاء أمثلة للتوسعات. يظهر الشكل الأساسي لتحليل رقم إلى عوامل أولية بعد ذلك. بعد ذلك ، يتم إعطاء خوارزمية لتحليل الأرقام العشوائية إلى عوامل أولية ، ويتم إعطاء أمثلة على تحليل الأرقام باستخدام هذه الخوارزمية. تعتبر الطرق البديلة أيضًا تسمح لك بالتحليل السريع للأعداد الصحيحة الصغيرة إلى عوامل أولية باستخدام معايير القسمة وجدول الضرب.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني تحليل عدد في العوامل الأولية؟

أولًا ، دعنا ننظر إلى ماهية العوامل الأولية.

من الواضح أنه بما أن كلمة "عوامل" موجودة في هذه العبارة ، فإن حاصل ضرب بعض الأرقام يحدث ، والكلمة التوضيحية "رئيس" تعني أن كل عامل هو رقم أولي. على سبيل المثال ، في منتج بالصورة 2 7 7 23 هناك أربعة عوامل أولية: 2 و 7 و 7 و 23.

ماذا يعني تحليل عدد في العوامل الأولية؟

هذا يعني انه رقم معينيجب تمثيله كمنتج للعوامل الأولية ، ويجب أن تكون قيمة هذا المنتج مساوية للرقم الأصلي. كمثال ، ضع في اعتبارك حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية 2 و 3 و 5 ، فهو يساوي 30 ، لذا فإن تحليل العدد 30 إلى عوامل أولية هو 2 3 5. عادة ، يتم كتابة تحليل رقم إلى عوامل أولية على أنه مساواة ، في مثالنا سيكون على النحو التالي: 30 = 2 3 5. بشكل منفصل ، نؤكد أن العوامل الأولية في التوسع يمكن أن تتكرر. يتضح هذا بوضوح من خلال المثال التالي: 144 = 2 2 2 2 3 3. لكن تمثيل الصورة 45 = 3 15 ليس تحللًا إلى عوامل أولية ، لأن الرقم 15 مركب.

يطرح السؤال التالي: "وما هي الأرقام التي يمكن أن تتحلل إلى عوامل أولية"؟

بحثًا عن إجابة لها ، نقدم المنطق التالي. الأعداد الأولية ، بحكم التعريف ، هي من بين الأعداد الأكبر من واحد. بالنظر إلى هذه الحقيقة ، يمكن القول إن حاصل ضرب العديد من العوامل الأولية هو عدد صحيح رقم موجب، عدد إيجابييتجاوز الوحدة. لذلك ، يحدث التحليل فقط للأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من 1.

لكن هل كل الأعداد الصحيحة أكبر من عامل واحد في العوامل الأولية؟

من الواضح أنه لا توجد طريقة لتحليل الأعداد الصحيحة البسيطة إلى عوامل أولية. هذا لأن الأعداد الأولية لها قاسما موجب اثنين فقط ، واحد ونفسه ، لذلك لا يمكن تمثيلها على أنها حاصل ضرب اثنين أو أكثرالأعداد الأولية. إذا كان من الممكن تمثيل عدد صحيح z كمنتج للأعداد الأولية a و b ، فإن مفهوم القابلية للقسمة سيسمح لنا باستنتاج أن z قابل للقسمة على كل من a و b ، وهو أمر مستحيل بسبب بساطة الرقم z. ومع ذلك ، يُعتقد أن أي عدد أولي هو في حد ذاته تحللها.

ماذا عن الأرقام المركبة؟ هل تتكشف الأرقام المركبةإلى عوامل أولية ، وهل جميع الأعداد المركبة عرضة لمثل هذا التحلل؟ يتم إعطاء إجابة إيجابية لعدد من هذه الأسئلة من خلال النظرية الأساسية للحساب. تنص النظرية الحسابية الأساسية على أن أي عدد صحيح أ أكبر من 1 يمكن أن يتحلل إلى حاصل ضرب العوامل الأولية ص 1 ، ص 2 ، ... ، ع ، بينما التحلل له الشكل أ = ص 1 ص 2 .. .pn ، وهذا التحلل فريد ، إذا لم نأخذ في الاعتبار ترتيب العوامل

التحلل المتعارف عليه لعدد إلى عوامل أولية

في توسيع العدد ، يمكن تكرار العوامل الأولية. يمكن كتابة العوامل الأولية المتكررة بشكل أكثر إحكاما باستخدام. دع العامل الأولي p 1 يحدث s 1 مرات في تحلل الرقم a ، والعامل الأولي p 2 - s 2 مرات ، وهكذا ، p n - s n مرة. ثم يمكن كتابة التحليل الأولي للرقم a كـ a = p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. هذا الشكل من الكتابة هو ما يسمى التحليل القانوني لعدد ما إلى عوامل أولية.

دعونا نعطي مثالاً على التحلل القانوني لرقم ما إلى عوامل أولية. دعنا نعرف التحلل 609840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11، شكله الأساسي هو 609840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.

يسمح لك التحليل الأساسي لرقم ما إلى عوامل أولية بالعثور على جميع قواسم العدد وعدد قواسمه.

خوارزمية لتحليل عدد إلى عوامل أولية

للتعامل بنجاح مع مهمة تحليل رقم إلى عوامل أولية ، يجب أن تكون جيدًا جدًا في المعلومات الواردة في المقالة ، وهي عبارة عن أرقام بسيطة ومركبة.

يتضح جوهر عملية توسيع عدد صحيح موجب وأكبر من رقم واحد من إثبات النظرية الحسابية الرئيسية. المعنى هو العثور بالتسلسل على أصغر قواسم أولية p 1، p 2، ...، pn للأرقام a، a 1، a 2،…، a n-1 ، مما يسمح لك بالحصول على سلسلة من المعادلات a = p 1 · أ 1 ، حيث أ 1 = أ: ص 1 ، أ = ص 1 أ 1 = ص 1 ص 2 أ 2 ، حيث أ 2 = أ 1: ف 2 ، ... ، أ = ص 1 ص 2 ... ع ن أن ، أين = أ ن -1: ع. عندما يتم الحصول على n = 1 ، فإن المساواة a = p 1 · p 2 · ... · p n ستعطينا التحلل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية. وهنا تجدر الإشارة أيضًا إلى أن ص 1 ≤ ص 2 ص 3… ص ن.

يبقى أن نتعامل مع إيجاد أصغر قواسم أولية في كل خطوة ، وسيكون لدينا خوارزمية لتحليل الرقم إلى عوامل أولية. سيساعدنا جدول الأعداد الأولية في إيجاد القواسم الأولية. دعنا نوضح كيفية استخدامها للحصول على أصغر قاسم أولي للعدد z.

نأخذ الأعداد الأولية بالتسلسل من جدول الأعداد الأولية (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 وما إلى ذلك) ونقسمها على العدد المعطى z. أول عدد أولي يمكن بواسطته أن يقبل z القسمة على أصغر قاسم أولي. إذا كان العدد z عددًا أوليًا ، فإن أصغر قاسم أولي له سيكون الرقم z نفسه. وتجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه إذا لم يكن z كذلك رقم اولي، إذن لا يتعدى قاسمه الأولي الأصغر ، أين من z. وبالتالي ، إذا لم يكن هناك قاسم واحد للرقم z من بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز ، فيمكننا أن نستنتج أن z هو رقم أولي (المزيد عن هذا مكتوب في قسم النظرية تحت العنوان هذا الرقم أولي أو مركب ).

على سبيل المثال ، دعنا نوضح كيفية إيجاد أصغر قاسم أولي للرقم 87. نأخذ الرقم 2. قسّم 87 على 2 ، نحصل على 87: 2 = 43 (الباقي. 1) (إذا لزم الأمر ، راجع المقال). أي عند قسمة 87 على 2 ، يكون الباقي 1 ، لذا فإن 2 ليس مقسومًا على الرقم 87. نأخذ العدد الأولي التالي من جدول الأعداد الأولية ، هذا هو الرقم 3. نقسم 87 على 3 ، نحصل على 87: 3 = 29. لذا ، فإن 87 يقبل القسمة على 3 بالتساوي ، وبالتالي فإن 3 هو أصغر قاسم أولي للرقم 87.

لاحظ أنه في الحالة العامة ، من أجل تحليل الرقم أ ، نحتاج إلى جدول من الأعداد الأولية حتى عدد لا يقل عن. سيتعين علينا الرجوع إلى هذا الجدول في كل خطوة ، لذلك نحتاج إلى توفيره في متناول اليد. على سبيل المثال ، لتحليل العدد 95 ، سنحتاج إلى جدول أعداد أولية حتى 10 (نظرًا لأن 10 أكبر من). ولتحليل العدد 846653 ، ستحتاج بالفعل إلى جدول أعداد أولية حتى 1000 (نظرًا لأن 1000 أكبر من).

لدينا الآن معلومات كافية للكتابة خوارزمية لتحليل عدد إلى عوامل أولية. خوارزمية توسيع الرقم أ هي كما يلي:

• بالفرز بالتسلسل من خلال الأرقام من جدول الأعداد الأولية ، نجد أصغر قاسم أولي ص 1 من الرقم أ ، وبعد ذلك نحسب 1 = أ: ع 1. إذا كان 1 = 1 ، فإن الرقم a عدد أولي ، وهو نفسه تحللها إلى عوامل أولية. إذا كان a 1 يساوي 1 ، إذن لدينا a = p 1 · a 1 وانتقل إلى الخطوة التالية.
• نجد أصغر قاسم أولي ص 2 من الرقم أ 1 ، لذلك نقوم بفرز الأرقام من جدول الأعداد الأولية بالتتابع ، بدءًا من ص 1 ، وبعد ذلك نحسب أ 2 = أ 1: ع 2. إذا كان a 2 = 1 ، فإن التحلل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية يكون بالصيغة a = p 1 · p 2. إذا كان a 2 يساوي 1 ، إذن لدينا a = p 1 · p 2 · a 2 وانتقل إلى الخطوة التالية.
• بالاطلاع على الأرقام من جدول الأعداد الأولية ، بدءًا من p 2 ، نجد أصغر قاسم أولي هو p 3 من الرقم a 2 ، وبعد ذلك نحسب a 3 = a 2: p 3. إذا كانت a 3 = 1 ، فإن التحلل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية يكون بالصيغة a = p 1 · p 2 · p 3. إذا كانت a 3 تساوي 1 ، إذن لدينا a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 وانتقل إلى الخطوة التالية.
• أوجد أصغر قاسم أولي p n من الرقم a n-1 بالفرز خلال الأعداد الأولية ، بدءًا من p n-1 ، وكذلك a n = a n-1: p n ، و a n يساوي 1. هذه الخطوة هي الخطوة الأخيرة في الخوارزمية ، وهنا نحصل على التحليل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية: a = p 1 · p 2 · ... · p n.

يتم تقديم جميع النتائج التي تم الحصول عليها في كل خطوة من خطوات الخوارزمية لتحليل رقم إلى عوامل أولية من أجل الوضوح في شكل الجدول التالي ، حيث ، على يسار الشريط العمودي ، الأرقام a ، a 1 ، a 2 ، ... ، يتم كتابتها بالتسلسل في العمود ، وعلى يمين الشريط - أصغر قواسم أولية مقابلة لها ص 1 ، ص 2 ، ... ، ع.

يبقى فقط النظر في بعض الأمثلة لتطبيق الخوارزمية التي تم الحصول عليها لتحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

أمثلة العوامل الأولية

الآن سوف نحلل بالتفصيل أمثلة العوامل الأولية. عند التحلل ، سنطبق الخوارزمية من الفقرة السابقة. لنبدأ بالحالات البسيطة ، ونعقدها تدريجيًا من أجل مواجهة جميع الفروق الدقيقة المحتملة التي تنشأ عند تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

مثال.

حلل العدد 78 إلى عوامل أولية.

المحلول.

نبدأ البحث عن أول قاسم أولي أصغر ص 1 من الرقم أ = 78. للقيام بذلك ، نبدأ في فرز الأعداد الأولية بالتتابع من جدول الأعداد الأولية. نأخذ الرقم 2 ونقسمه على 78 ، نحصل على 78: 2 = 39. تم قسمة الرقم 78 على 2 بدون باقي ، لذا فإن p 1 \ u003d 2 هو أول قاسم أولي موجود للرقم 78. في هذه الحالة أ 1 = أ: ف 1 = 78: 2 = 39. لذلك نصل إلى المساواة a = p 1 · a 1 بالصيغة 78 = 2 · 39. من الواضح أن 1 = 39 يختلف عن 1 ، لذلك ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية.

الآن نحن نبحث عن أصغر قاسم أولي ص 2 من العدد أ 1 = 39. نبدأ في تعداد الأرقام من جدول الأعداد الأولية ، بدءًا من p 1 = 2. قسّم 39 على 2 ، نحصل على 39: 2 = 19 (المتبقي 1). بما أن 39 لا تقبل القسمة على 2 بالتساوي ، فإن 2 لا تقبل القسمة عليها. ثم نأخذ الرقم التالي من جدول الأعداد الأولية (الرقم 3) ونقسمه على 39 ، نحصل على 39: 3 = 13. لذلك ، p 2 \ u003d 3 هو أصغر قاسم أولي للرقم 39 ، بينما 2 \ u003d a 1: p 2 \ u003d 39: 3 = 13. لدينا المساواة a = p 1 p 2 a 2 بالشكل 78 = 2 3 13. نظرًا لأن 2 = 13 يختلف عن 1 ، ننتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية.

علينا هنا إيجاد أصغر قاسم أولي للعدد أ 2 = 13. بحثًا عن أصغر قاسم أولي ص 3 من الرقم 13 ، سنقوم بفرز الأرقام من جدول الأعداد الأولية بالتسلسل ، بدءًا من p 2 = 3. العدد 13 غير قابل للقسمة على 3 ، لأن 13: 3 = 4 (بقية. 1) ، 13 أيضًا غير قابل للقسمة على 5 و 7 و 11 ، لأن 13: 5 = 2 (الراحة. 3) ، 13: 7 = 1 (الدقة 6) و 13: 11 = 1 (الدقة 2). العدد الأولي التالي هو 13 ، و 13 يقبل القسمة عليه بدون باقي ، لذلك ، أصغر قاسم أولي هو p 3 من الرقم 13 هو الرقم 13 نفسه ، و 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . بما أن a 3 = 1 ، فإن هذه الخطوة من الخوارزمية هي الأخيرة ، والتحلل المطلوب للرقم 78 إلى عوامل أولية له شكل 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

إجابه:

78 = 2 3 13.

مثال.

عبر عن العدد ٨٣٠٠٦ كحاصل ضرب العوامل الأولية.

المحلول.

في الخطوة الأولى من الخوارزمية لتحليل رقم إلى عوامل أولية ، نجد p 1 = 2 و a 1 = a: p 1 = 83006: 2 = 41503 ، حيث 83006 = 2 41503.

في الخطوة الثانية ، اكتشفنا أن 2 و 3 و 5 ليست قواسم أولية للرقم أ 1 = 41503 ، والرقم 7 هو ، لأن 41503: 7 = 5929. لدينا ل 2 = 7 ، أ 2 = أ 1: ع 2 = 41503: 7 = 5929. وبالتالي ، 83006 = 2 7 5929.

أصغر قاسم أولي لـ 2 = 5929 هو 7 ، بما أن 5929: 7 = 847. وهكذا ، ص 3 = 7 ، أ 3 = أ 2: ع 3 = 5929: 7 = 847 ، إذًا 83006 = 2 7 7847.

علاوة على ذلك ، نجد أن أصغر قاسم أولي ص 4 من العدد أ 3 = 847 يساوي 7. ثم أ 4 = أ 3: ف 4 = 847: 7 = 121 ، لذلك 83006 = 2 7 7 7121.

نجد الآن أصغر قاسم أولي للرقم a 4 = 121 ، وهو الرقم p 5 = 11 (نظرًا لأن 121 يقبل القسمة على 11 ولا يقبل القسمة على 7). ثم أ 5 = أ 4: ف 5 = 121: 11 = 11 ، و 83006 = 2 7 7 7 11 11.

أخيرًا ، أصغر قاسم أولي لـ 5 = 11 هو p 6 = 11. ثم أ 6 = أ 5: ف 6 = 11: 11 = 1. بما أن 6 = 1 ، فإن هذه الخطوة من الخوارزمية لتحليل رقم إلى عوامل أولية هي الخطوة الأخيرة ، والتحليل المطلوب له شكل 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

يمكن كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها كتحلل قانوني للعدد إلى عوامل أولية 83006 = 2 · 7 3 · 11 2.

إجابه:

83006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 عدد أولي. في الواقع ، ليس له قاسم أولي لا يتجاوز (يمكن تقديره تقريبًا ، لأنه من الواضح أن 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

إجابه:

897924289 = 937967991.

استخدام اختبارات القسمة للعوامل الأولية

في الحالات البسيطة ، يمكنك تحليل رقم إلى عوامل أولية دون استخدام خوارزمية التحليل من الفقرة الأولى من هذه المقالة. إذا لم تكن الأرقام كبيرة ، فعند تحليلها إلى عوامل أولية ، غالبًا ما يكفي معرفة علامات القابلية للقسمة. نعطي أمثلة للتوضيح.

على سبيل المثال ، علينا تحليل العدد 10 إلى عوامل أولية. نعلم من جدول الضرب أن 2 5 = 10 ، وأن العددين 2 و 5 أوليان بشكل واضح ، لذا فإن التحليل الأولي لـ 10 هو 10 = 2 5.

مثال آخر. باستخدام جدول الضرب ، نحلل العدد 48 إلى عوامل أولية. نعلم أن ستة ثمانية يساوي ثمانية وأربعين ، أي 48 = 6 8. ومع ذلك ، فلا 6 ولا 8 أعداد أولية. لكننا نعلم أن ضعف ثلاثة يساوي ستة ، ومرتان أربعة يساوي ثمانية ، أي 6 = 2 3 و 8 = 2 4. ثم 48 = 6 8 = 2 3 2 4. يبقى أن نتذكر أن ضعف اثنين يساوي أربعة ، ثم نحصل على التحلل المطلوب إلى عوامل أولية 48 = 2 3 2 2 2. لنكتب هذا التحلل بالصيغة المتعارف عليها: 48 = 2 4 · 3.

لكن عند تحليل الرقم 3400 إلى عوامل أولية ، يمكنك استخدام إشارات القسمة. تسمح لنا علامات القابلية للقسمة على 10 و 100 بتأكيد أن 3400 قابلة للقسمة على 100 ، بينما 3400 = 34100 ، و 100 قابلة للقسمة على 10 ، بينما 100 = 10 10 ، لذلك ، 3400 = 34 10 10. واستنادًا إلى علامة القابلية للقسمة على 2 ، يمكن القول إن كل من العوامل 34 و 10 و 10 قابل للقسمة على 2 ، نحصل على 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. جميع العوامل في التمدد الناتج بسيطة ، لذا فإن هذا التوسيع هو المطلوب. يبقى فقط إعادة ترتيب العوامل بحيث تذهب بترتيب تصاعدي: 3400 = 2 2 2 5 5 17. نكتب أيضًا التحليل القانوني لهذا الرقم إلى عوامل أولية: 3400 = 2 3 5 2 17.

عند تحليل رقم معين إلى عوامل أولية ، يمكنك استخدام علامات القسمة وجدول الضرب بالتناوب. لنمثل العدد 75 كحاصل ضرب العوامل الأولية. تتيح لنا علامة القابلية للقسمة على 5 التأكيد على أن 75 قابلة للقسمة على 5 ، بينما نحصل على 75 = 5 15. ونعلم من جدول الضرب أن 15 = 3 5 ، لذلك 75 = 5 3 5. هذا هو التحلل المطلوب للرقم 75 إلى عوامل أولية.

فهرس.

• فيلينكين ن. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
• فينوغرادوف إ. أساسيات نظرية الأعداد.
• ميخلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
• كوليكوف ل. مجموعة مسائل في الجبر ونظرية الأعداد: كتاب مدرسي لطلاب fiz.-mat. تخصصات المعاهد التربوية.

حالة خاصة من سلسلة Taylor at x 0 =0

ننحن نتصلمجاور ماكلورين للوظيفةF(x).

دعونا نجد تحلل البعض ابتدائيوظائف في سلسلة Maclaurin.

المثال 23

.

المحلول.

لحل المشكلة ، سوف نستخدم الخوارزمية التي تمت صياغتها أعلاه. نظرًا لأنه مطلوب لتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin ، فسنبحث عن توسع بالقرب من النقطة X 0 = 0.

لنجد قيمة الدالة عند النقطة X 0 = 0 ، وظائف مشتقة تصل إلى صالترتيب عشر وقيمها في X 0 = 0:

دعونا نكتب رسميًا سلسلة Maclaurin بالصيغة

لاحظ أننا حصلنا على rad على قوى فردية ، لأن المعاملات عند قوى زوجية (متى ص- رقم زوجي) يساوي صفرًا.

دعنا نجد منطقة التقارب للسلسلة التي تم الحصول عليها ، لذلك نقوم بتكوين سلسلة من القيم المطلقة لشروط السلسلة:

وتطبيق علامة د "اليمبيرت عليها.

لأن قيمة الحد لا تعتمد على Xوأقل من وحدة لأي X، ثم تتقارب المتسلسلة لجميع القيم ، مما يعني أن منطقة التقاء المتسلسلة X(–,+).

دعونا نتحقق من استيفاء الشروط الكافية. من الواضح أن

بالنسبة ص= 0،1،2 ، ... ولأي X,

هذا يعني أن الوظيفة تتوسع إلى سلسلة Maclaurin الخاصة بها على المحور الحقيقي بأكمله ، أي

في X(–,+).

في المثال المدروس ، لتحديد معاملات تمدد دالة في سلسلة طاقة بالقرب من النقطة X 0 = 0 اشتقنا الدالة على التوالي حتى نتمكن من اشتقاق صيغة من أجلها صالمشتق عشر ، ووجد قيم المشتقات عند نقطة معينة. ثم تم اكتشاف من أجله Xاستيفاء الشروط الكافية لتوسيع دالة إلى سلسلة. غالبًا ما تؤدي هذه الخطوات إلى حسابات مرهقة. يمكن أحيانًا التحايل على هذه الصعوبات باستخدام بيانالذي - التي إن توسيع دالة في سلسلة طاقة يتم الحصول عليها بأي شكل من الأشكال سيكون توسعها في سلسلة تايلور.لذلك ، من أجل الحصول على توسيع دالة في سلسلة قوى ، يمكن للمرء استخدام التوسعات المعروفة بالفعل للوظائف الأولية ، وسلسلة Maclaurin ، وتطبيق قواعد الجمع ، وضرب السلاسل ، والنظريات المتعلقة بالتكامل والتفاضل. من سلسلة الطاقة.

على سبيل المثال ، تحلل الوظيفة F(x)= كوس x يمكن الحصول عليها عن طريق التفريق مصطلحًا تلو الآخر لتوسيع سلسلة Maclaurin للوظيفة F(x) = الخطيئة x.

في X(–,+).

وبالمثل ، باستخدام خوارزمية التوسيع والنظريات حول تكامل وتمايز سلاسل الطاقة ، يمكننا الحصول على توسعات سلسلة Maclaurin للوظائف الأولية التالية:

في X(–,+);

هإذا t≥.0 ، أو t -1 ، ثم منطقة التقارب س (-1;1),

هإذا–1< تي<0 , ثم منطقة التقارب س (-1;1].

يسمى هذا التحلل سلسلة ذات الحدين.على وجه الخصوص ، مع افتراض في التحلل الأخير تي= –1, نحن نحصل

, X (-1;1).

الاستعاضة في هذا التحلل Xللتعبير (- X), نحن نحصل

، في X (–1;1).

استخدام نظرية تكامل سلسلة الطاقة وتطبيقها على توسيع سلسلة Maclaurin للوظيفة
، نحن نحصل

في X (–1;1].

الاستبدال في تحلل الوظائف
عامل Xللتعبير وندمج ، نحصل عليه

في X [–1;1].

استخدام سلسلة ذات الحدين -توسيع سلسلة Maclaurin للوظيفة
، على افتراض
، استبدال Xللتعبير
والتكامل ، نحصل عليه

في X (–1;1).

المثال 24.

باستخدام التوسعات المعروفة ، قم بتوسيع سلسلة Maclaurin للدالة
.

المحلول

من الضروري إيجاد توسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin ، أي في سلسلة القوى في القوى X. سوف نستخدم التحلل

في ر  (–1;1].

بافتراض ر = x 2 , نحن نحصل

هذا التحلل صالح عندما
، أين
ثم منطقة الالتقاء
.

في هذا الطريق،

ضرب طرفي المعادلة في X، نحن نحصل

في X [–1;1].

صالمثال 25

باستخدام التوسعات المعروفة ، قم بتوسيع الدالة
في سلسلة تايلور بالقرب من النقطة X 0 =1.

المحلول.

من الضروري الحصول على توسيع الوظيفة في سلسلة تايلور بالقرب من النقطة X 0 = 1, أولئك. بالدرجات ( X–1).

سوف نستخدم التحلل

في ر  (-1;1).

من أجل الحصول على توسيع هذه الوظيفة في القوى ( X–1) إدخال متغير جديد ر= x–1, ومن بعد س =ر + 1. دعونا نحول هذه الوظيفة إلى متغير جديد ، الإعداد س =ر + 1:

وضع توسيع معروف بدلاً من رالتعبير وضربه في رقم نحصل عليه

في  (-1;1).

بافتراض التحلل الناتج ر = x–1, العودة إلى المتغير الأصلي Xوالحصول على توسيع هذه الوظيفة إلى سلسلة قوى في القوى ( X-1):

هذا التحلل صالح بشرط
، أين
.

لذلك حصلنا على التحلل

في
.

المثال 26

توسيع وظيفة
في سلسلة الطاقة عند نقطة ما
.

المحلول.

نقوم بتحويل هذه الوظيفة باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

باستخدام التحلل المعروف

في ر  (–1;1].

أوجد توسع الدالة
, افتراض ر= 2x, والميزات
، على افتراض ر= -x:

التوسع صالح لـ 2 X  (–1;1), أولئك. في
.

بطريقة مماثلة،

والتوسيع صالح لـ (- X)  (–1 ؛ 1) ، أي في X  (–1;1).

يمكن إضافة سلسلة القوة مصطلحًا بمصطلح واحد وضربها في رقم ، مما يعني

علاوة على ذلك ، فإن هذا التوسع صالح على منطقة التقارب العامة ، أي ، في
.

صالمثال 27

قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin
.

المحلول.

دعنا نحول الوظيفة

.

استخدام توسيع سلسلة Maclaurin المعروف للوظيفة في=(1+ ر) م , افتراض
و
، نحن نحصل

المتسلسلة ذات الحدين المستخدمة ل
منطقة التقارب ر  (-1 ؛ 1] ، لذلك فإن التحلل الذي تم الحصول عليه صالح لـ
، أين
,
.

وبالتالي،
في
.

إذا كانت الوظيفة f (x) تحتوي على مشتقات من جميع الطلبات في فترة زمنية تحتوي على النقطة a ، فيمكن تطبيق صيغة Taylor عليها:
,
أين rn- ما يسمى بالمصطلح المتبقي أو باقي السلسلة ، يمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:
، حيث يقع العدد x بين x و a.

قواعد دخول الوظيفة:

إذا لبعض القيمة X rn→ 0 في ن→ ∞ ، ثم في الحد ، تتحول صيغة تايلور لهذه القيمة إلى متقارب سلسلة تايلور:
,
وبالتالي ، يمكن توسيع الوظيفة f (x) إلى سلسلة Taylor عند النقطة المحددة x إذا:
1) لها مشتقات لجميع الطلبات ؛
2) تتلاقى السلسلة المبنية في هذه المرحلة.

ل = 0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من Maclaurin:
,
توسيع أبسط الوظائف (الابتدائية) في سلسلة Maclaurin:
وظائف أسية
، R = ∞
الدوال المثلثية
، R = ∞
، R = ∞
، (-/ 2< x < π/2), R=π/2
لا تتوسع الدالة actgx في قوى x ، لأن ctg0 = ∞
الدوال الزائدية


الدوال اللوغاريتمية
, -1
سلسلة ذات الحدين
.

مثال 1. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة أس و (س) = 2x.
المحلول. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها عند X=0
و (خ) = 2x, F( 0) = 2 0 =1;
و "(خ) = 2x ln2 ، F"( 0) = 2 0 ln2 = ln2 ؛
و "(خ) = 2x ln 2 2 F""( 0) = 2 0 سجل 2 2 = سجل 2 2 ؛
…
و (ن) (خ) = 2x ln ن 2, و (ن) ( 0) = 2 0 ln ن 2 = ن ن 2.
استبدال القيم التي تم الحصول عليها من المشتقات في صيغة سلسلة تايلور ، نحصل على:

نصف قطر التقارب لهذه السلسلة يساوي اللانهاية ، لذا فإن هذا التمدد صالح لـ -∞<x<+∞.

المثال رقم 2. اكتب سلسلة تايلور في القوى ( X+4) للوظيفة و (س) =ه x.
المحلول. إيجاد مشتقات الدالة e xوقيمهم في هذه النقطة X=-4.
و (خ)= هـ x, F(-4) = هـ -4 ;
و "(خ)= هـ x, F"(-4) = هـ -4 ;
و "(خ)= هـ x, F""(-4) = هـ -4 ;
…
و (ن) (خ)= هـ x, و (ن) ( -4) = هـ -4 .
لذلك ، فإن سلسلة تايلور المرغوبة للوظيفة لها الشكل:

هذا التوسيع صالح أيضًا لـ -∞<x<+∞.

المثال رقم 3. توسيع وظيفة و (خ)= ln xفي سلسلة بالدرجات ( X- 1),
(أي في سلسلة تايلور بالقرب من النقطة X=1).
المحلول. نجد مشتقات هذه الدالة.
و (س) = lnx ، ، ، ،

و (1) = ln1 = 0 ، و "(1) = 1 ، و" (1) = - 1 ، و "" (1) = 1 * 2 ، ... ، و (ن) = (- 1) ن -1 (ن -1)!
باستبدال هذه القيم في الصيغة ، نحصل على سلسلة Taylor المطلوبة:

بمساعدة اختبار دالمبرت ، يمكن للمرء التحقق من أن السلسلة تتقارب عند ½x-1½<1 . Действительно,

تتقارب السلسلة إذا X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط اختبار Leibniz. بالنسبة إلى x = 0 ، لم يتم تعريف الوظيفة. وبالتالي ، فإن منطقة التقاء سلسلة تايلور هي الفترة الفاصلة نصف المفتوحة (0 ؛ 2].

المثال رقم 4. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة الطاقة.
المحلول. في التحلل (1) نستبدل x بـ -x 2 ، نحصل على:
, -∞

مثال رقم 5. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin .
المحلول. لدينا
باستخدام الصيغة (4) ، يمكننا كتابة:

بالتعويض عن x في الصيغة -x ، نحصل على:

من هنا نجد: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
نحصل على توسيع الأقواس ، وإعادة ترتيب شروط السلسلة وتقليل المصطلحات المماثلة
. تتقارب هذه السلسلة في الفترة (-1 ؛ 1) حيث يتم الحصول عليها من سلسلتين ، كل منهما تتقارب في هذه الفترة.

تعليق .
يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة تايلور ، أي لتوسيع الوظائف في عدد صحيح موجب ( ها). للقيام بذلك ، من الضروري إجراء مثل هذه التحويلات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5) ، والتي بدلاً من Xتكاليف ك ( ها) م ، حيث ك عدد ثابت ، م هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب تغيير المتغير ر=هاوتوسيع الوظيفة الناتجة بالنسبة إلى t في سلسلة Maclaurin.

تعتمد هذه الطريقة على نظرية تفرد تمدد دالة في سلسلة أس. يكمن جوهر هذه النظرية في أنه في المنطقة المجاورة لنفس النقطة ، لا يمكن الحصول على سلسلتين مختلفتين من القوة التي من شأنها أن تتقارب مع نفس الوظيفة ، بغض النظر عن كيفية تنفيذ تمددها.

مثال رقم 5 أ. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Maclaurin ، وحدد منطقة التقارب.
المحلول. أولًا نجد 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
إلى الابتدائية:

يمكن النظر إلى الكسر 3 / (1-3x) على أنه مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود بمقام 3x إذا | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

مع منطقة التقارب | x |< 1/3.

رقم المثال 6. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة Taylor بالقرب من النقطة x = 3.
المحلول. يمكن حل هذه المشكلة ، كما في السابق ، باستخدام تعريف سلسلة تايلور ، والتي من الضروري إيجاد مشتقات الوظائف وقيمها في X= 3. ومع ذلك ، سيكون من الأسهل استخدام التحلل الموجود (5):
=
تتقارب السلسلة الناتجة عند أو -3

رقم المثال 7. اكتب سلسلة تايلور في القوى (x -1) للوظيفة ln (x + 2).
المحلول.


تتقارب السلسلة عند أو -2< x < 5.

مثال رقم 8. قم بتوسيع الدالة f (x) = sin (πx / 4) في سلسلة تايلور حول النقطة x = 2.
المحلول. لنجعل البديل t = x-2:

باستخدام التوسيع (3) ، الذي نعوض فيه بـ π / 4 t عن x ، نحصل على:

تتقارب السلسلة الناتجة مع الوظيفة المحددة عند-< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞في هذا الطريق،
, (-∞

حسابات تقريبية باستخدام سلسلة الطاقة

تستخدم سلسلة الطاقة على نطاق واسع في الحسابات التقريبية. بمساعدتهم ، وبدقة معينة ، يمكنك حساب قيم الجذور ، والدوال المثلثية ، ولوغاريتمات الأرقام ، والتكاملات المحددة. تستخدم المتسلسلة أيضًا في تكامل المعادلات التفاضلية.
ضع في اعتبارك توسيع الوظيفة في سلسلة أس:

لحساب القيمة التقريبية لدالة عند نقطة معينة X، تنتمي إلى منطقة التقاء السلسلة المشار إليها ، الأولى نأفراد ( نهو رقم محدد) ، ويتم تجاهل الشروط المتبقية:

لتقدير خطأ القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها ، من الضروري تقدير النفايات المتبقية r n (x). لهذا ، يتم استخدام الطرق التالية:

• إذا كانت السلسلة الناتجة هي تبديل الأحرف ، فسيتم استخدام الخاصية التالية: بالنسبة لسلسلة بديلة تفي بشروط Leibniz ، لا تتجاوز القيمة المطلقة لبقية السلسلة المصطلح الأول المهمل.
• إذا كانت السلسلة المعينة ذات علامة ثابتة ، فعندئذٍ تتم مقارنة السلسلة المكونة من المصطلحات المهملة بتقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
• في الحالة العامة ، لتقدير ما تبقى من سلسلة تايلور ، يمكنك استخدام صيغة لاغرانج: أ x ).

مثال 1. احسب ln (3) حتى 0.01.
المحلول. دعنا نستخدم التحليل ، حيث x = 1/2 (انظر المثال 5 في الموضوع السابق):

دعنا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد المصطلحات الثلاثة الأولى من المفكوك ، لذلك نقوم بتقييمه باستخدام مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

لذا يمكننا التخلص من الباقي والحصول عليه

المثال رقم 2. احسب لأقرب 0.0001.
المحلول. دعنا نستخدم المتسلسلة ذات الحدين. بما أن 5 3 هي أقرب عدد صحيح من المكعب لـ 130 ، فمن المستحسن تمثيل العدد 130 على أنه 130 = 5 3 +5.



نظرًا لأن المصطلح الرابع من سلسلة الإشارات المتناوبة التي تم الحصول عليها والتي تفي باختبار Leibniz هو بالفعل أقل من الدقة المطلوبة:
، لذلك يمكن تجاهلها والمصطلحات التي تليها.
لا يمكن حساب العديد من التكاملات المحددة أو غير الصحيحة من الناحية العملية باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز ، لأن تطبيقها يرتبط بإيجاد المشتق العكسي ، وغالبًا ما لا يكون له تعبير في الدوال الأولية. ويحدث أيضًا أن العثور على المشتقات العكسية أمر ممكن ، ولكنه شاق بلا داعٍ. ومع ذلك ، إذا تم توسيع التكامل إلى سلسلة أس ، وكانت حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه السلسلة ، فمن الممكن إجراء حساب تقريبي للتكامل بدقة محددة مسبقًا.

المثال رقم 3. احسب التكامل ∫ 0 1 4 sin (x) x حتى 10 -5.
المحلول. لا يمكن التعبير عن التكامل غير المحدد المقابل في الوظائف الأولية ، أي هو "تكامل مستحيل". لا يمكن تطبيق صيغة Newton-Leibniz هنا. دعونا نحسب التكامل تقريبا.
قسمة حد على حد متسلسل من أجل الخطيئة xعلى ال x، نحن نحصل:

دمج هذه السلسلة مصطلحًا بمصطلح (هذا ممكن ، نظرًا لأن حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه السلسلة) ، نحصل على:

نظرًا لأن السلسلة الناتجة تفي بشروط Leibniz ويكفي أن تأخذ مجموع المصطلحين الأولين من أجل الحصول على القيمة المطلوبة بدقة معينة.
وهكذا نجد
.

المثال رقم 4. احسب التكامل ∫ 0 1 4 e x 2 حتى 0.001.
المحلول.
. دعنا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد الحد الثاني من السلسلة الناتجة.
0.0001<0.001. Следовательно, .

يمكن أن يتحلل أي عدد طبيعي إلى حاصل ضرب عوامل أولية. إذا كنت لا تحب التعامل مع أعداد كبيرة مثل 5733 ، فتعلم كيفية تحليلها إلى عوامل أولية (في هذه الحالة ، 3 × 3 × 7 × 7 × 13). غالبًا ما يتم مواجهة مهمة مماثلة في التشفير ، والتي تتعامل مع مشاكل أمن المعلومات. إذا لم تكن مستعدًا لإنشاء نظام بريد إلكتروني آمن خاص بك ، فتعرف على كيفية تحليل الأرقام في العوامل الأولية أولاً.

خطوات

الجزء 1

إيجاد العوامل الأولية

1. ابدأ بالرقم الأصلي.اختر رقمًا مركبًا أكبر من 3. ليس من المنطقي أن تأخذ عددًا أوليًا ، لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد.

   • مثال: نحلل الرقم 24 إلى حاصل ضرب أعداد أولية.

2. دعونا نحلل هذا الرقم إلى حاصل ضرب عاملين.أوجد عددين أصغر حاصل ضربهما الرقم الأصلي. يمكنك استخدام أي مضاعفات ، لكن من الأسهل أخذ الأعداد الأولية. تتمثل إحدى الطرق الجيدة في محاولة قسمة الرقم الأصلي أولاً على 2 ، ثم على 3 ، ثم على 5 ، ومعرفة أي من هذه الأعداد الأولية يمكن القسمة عليه.

   • مثال: إذا كنت لا تعرف عوامل العدد 24 ، فحاول تقسيمه على أعداد أولية صغيرة. لذلك ستجد أن الرقم المعطى يقبل القسمة على 2: 24 = 2 × 12. هذه بداية جيدة.
   • نظرًا لأن 2 عدد أولي ، فمن الجيد استخدامه عند تحليل الأرقام الزوجية.

3. ابدأ في بناء شجرة مضاعفة.سيساعدك هذا الإجراء البسيط على تحليل رقم إلى عوامل أولية. للبدء ، اسحب "فرعين" من الرقم الأصلي. اكتب المضاعفات الموجودة في نهاية كل فرع.

   • مثال:

4. حلل صف الأرقام التالي إلى عوامل.ألق نظرة على الرقمين الجديدين (الصف الثاني من شجرة المضاعف). هل كلاهما عدد أولي؟ إذا لم يكن أحدهما عددًا أوليًا ، فقم بتحليله أيضًا إلى عاملين. ارسم فرعين آخرين واكتب مضاعفين جديدين في السطر الثالث من الشجرة.

   • مثال: 12 ليس عددًا أوليًا ، لذا يجب تحليله إلى عوامل. نستخدم التحلل 12 = 2 × 6 ونكتبه في السطر الثالث من الشجرة:
   • 2 × 6

5. استمر في التحرك أسفل الشجرة.إذا تبين أن أحد العوامل الجديدة عدد أولي ، اسحب منه "فرعًا" واكتب نفس الرقم في نهايته. لا تتحلل الأعداد الأولية إلى عوامل أصغر ، لذا فقط انقلها إلى المستوى أدناه.

   • مثال: 2 عدد أولي. ما عليك سوى تحريك الرقم 2 من السطر الثاني إلى السطر الثالث:
   • 2 2 6

6. استمر في تحليل الأرقام حتى يتبقى لك الأعداد الأولية فقط.تحقق من كل سطر جديد من الشجرة. إذا لم يكن أحد العوامل الجديدة على الأقل عددًا أوليًا ، فاعمل على تحليله واكتب سطرًا جديدًا. في النهاية ، ستبقى مع الأعداد الأولية فقط.

   • مثال: 6 ليس عددًا أوليًا ، لذلك يجب أيضًا تحليله إلى عوامل. في نفس الوقت ، 2 عدد أولي ، ونحمل 2 2 إلى المستوى التالي:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. اكتب السطر الأخير كمنتج للعوامل الأولية.في النهاية ، ستبقى مع الأعداد الأولية فقط. عندما يحدث هذا ، يكون العامل الأولي قد اكتمل. السطر الأخير عبارة عن مجموعة من الأعداد الأولية يعطي حاصل ضربها الرقم الأصلي.

   • تحقق من إجابتك: اضرب الأرقام في السطر الأخير. يجب أن تكون النتيجة هي الرقم الأصلي.
   • مثال: يحتوي الصف الأخير من شجرة العوامل على الرقمين 2 و 3. كلا الرقمين أوليان ، لذلك اكتمل التوسع. وبالتالي ، فإن تحلل الرقم 24 إلى عوامل أولية يكون بالشكل التالي: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
   • لا يهم ترتيب المضاعفات. يمكن أيضًا كتابة المفكوك في صورة 2 × 3 × 2 × 2.

8. إذا كنت ترغب في ذلك ، قم بتبسيط إجابتك باستخدام تدوين القوة.إذا كنت معتادًا على رفع الأرقام إلى قوة ما ، فيمكنك كتابة إجابتك بطريقة أبسط. تذكر أن القاعدة مكتوبة أدناه ، والرقم المرتفع يوضح عدد مرات ضرب هذه القاعدة في نفسها.

   • مثال: كم مرة يظهر الرقم 2 في المفكوك الموجودة 2 × 2 × 2 × 3؟ ثلاث مرات ، إذن يمكن كتابة التعبير 2 × 2 × 2 في صورة 2 3. في الترميز المبسط ، نحصل على 23 × 3.

   الجزء 2

   استخدام Prime Factorization

   1. أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين.القاسم المشترك الأكبر (GCD) لرقمين هو الحد الأقصى للعدد الذي يقبل به كلا الرقمين بدون باقي. يوضح المثال التالي كيفية استخدام التحليل الأولي لإيجاد العامل المشترك الأكبر بين 30 و 36.

      • دعونا نحلل كلا العددين إلى عوامل أولية. بالنسبة للرقم 30 ، يكون المفكوك 2 × 3 × 5. ويتحلل الرقم 36 إلى عوامل أولية على النحو التالي: 2 × 2 × 3 × 3.
      • ابحث عن رقم يحدث في كلا التوسيعين. نقوم بشطب هذا الرقم في كلتا القائمتين ونكتبه في سطر جديد. على سبيل المثال ، 2 تحدث في توسيعين ، لذلك نكتب 2 في سطر جديد. بعد ذلك ، يتبقى لنا 30 = 2 × 3 × 5 و 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
      • كرر هذا الإجراء حتى لا توجد عوامل مشتركة متبقية في التوسعات. تتضمن كلتا القائمتين أيضًا الرقم 3 ، لذا يمكننا كتابة سطر جديد 2 و 3 . بعد ذلك ، قارن بين الامتدادات مرة أخرى: 30 = 2 × 3 × 5 و 36 = 2 × 2 × 3 × 3. كما ترى ، لا توجد عوامل مشتركة متبقية فيها.
      • لإيجاد القاسم المشترك الأكبر ، عليك إيجاد حاصل ضرب كل العوامل المشتركة. في مثالنا ، هذان هما 2 و 3 ، لذا فإن gcd هو 2 × 3 = 6 . هذا هو أكبر عدد يمكن من خلاله القسمة على العددين 30 و 36 بدون باقي.

   2. يمكن استخدام GCD لتبسيط الكسور.إذا كنت تشك في إمكانية اختزال الكسر ، فاستخدم القاسم المشترك الأكبر. استخدم الإجراء أعلاه للعثور على GCD للبسط والمقام. ثم اقسم بسط الكسر ومقامه على هذا الرقم. نتيجة لذلك ، ستحصل على نفس الكسر بصيغة أبسط.

      • على سبيل المثال ، لنبسط الكسر 30/36. كما ذكرنا أعلاه ، بالنسبة لـ 30 و 36 GCD يساوي 6 ، لذلك نقسم البسط والمقام على 6:
      • 30 6 = 5
      • 36 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين.المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين هو أصغر رقم يقبل القسمة بالتساوي على كلا العددين المعينين. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 3 هو 6 لأنه أصغر رقم يقبل القسمة على 2 و 3. أدناه مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي:

      • نبدأ مع اثنين من العوامل الأولية. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 126 ، يمكن كتابة المفكوك على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 7. العدد 84 ينقسم إلى عوامل أولية على الصورة 2 × 2 × 3 × 7.
      • دعونا نقارن عدد مرات حدوث كل عامل في التمدد. اختر القائمة التي يحدث فيها المضاعف لأقصى عدد من المرات ، وضع دائرة حول هذا المكان. على سبيل المثال ، يظهر الرقم 2 مرة واحدة في توسيع 126 ومرتين في قائمة 84 ، لذا ضع دائرة 2 × 2في قائمة المضاعفات الثانية.
      • كرر هذا الإجراء لكل مضاعف. على سبيل المثال ، 3 تحدث غالبًا في التوسيع الأول ، لذا ضع دائرة حولها 3 × 3. يظهر الرقم 7 مرة واحدة في كلتا القائمتين ، لذا ضع دائرة 7 (لا يهم في أي قائمة ، إذا كان العامل المحدد يحدث في كلتا القائمتين بنفس عدد المرات).
      • لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، اضرب كل الأعداد المحاطة بدائرة. في مثالنا ، المضاعف المشترك الأصغر لـ 126 و 84 هو 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252. هذا هو أصغر عدد يقبل القسمة على 126 و 84 بدون الباقي.

   4. استخدم المضاعف المشترك الأصغر لإضافة الكسور.عند جمع كسرين ، عليك تقريبهما إلى قاسم مشترك. للقيام بذلك ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامتين. ثم اضرب بسط ومقام كل كسر في رقم بحيث تصبح مقامات الكسور مساوية للمضاعف المشترك الأصغر. بعد ذلك ، يمكنك جمع الكسور.

      • على سبيل المثال ، عليك إيجاد مجموع 1/6 + 4/21.
      • باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 6 و 21. وهو يساوي 42.
      • حوّل الكسر 1/6 بحيث يكون مقامه 42. للقيام بذلك ، قسّم 42 على 6: 42 ÷ 6 = 7. الآن اضرب بسط الكسر ومقامه في 7: 1/6 × 7/7 = 7 / 42.
      • لإحضار الكسر الثاني إلى المقام 42 ، قسّم 42 على 21: 42 ÷ 21 = 2. اضرب بسط ومقام الكسر في 2: 4/21 x 2/2 = 8/42.
      • بعد اختزال الكسور إلى نفس المقام ، يمكن إضافتها بسهولة: 7/42 + 8/42 = 15/42.

ضع في اعتبارك التعبيرات التالية ذات قوى (أ + ب) ن ، حيث أ + ب هي أي ذات الحدين ون هي عدد صحيح.

كل تعبير هو متعدد الحدود. في جميع التعبيرات ، يمكنك ملاحظة الميزات.

1. في كل تعبير ، يوجد مصطلح واحد أكثر من الأس n.

2. في كل مصطلح ، مجموع القوى يساوي n ، أي القوة التي ترفع إليها ذات الحدين.

3. القوى تبدأ من الأس ذو الحدين n وتنخفض باتجاه الصفر. الحد الأخير ليس له عامل أ. المصطلح الأول ليس له عامل ب ، أي تبدأ قوى b من 0 وتزيد إلى n.

4. تبدأ المعاملات من 1 وتزداد بقيم معينة حتى "منتصف الطريق" ثم تنخفض بنفس القيم إلى 1.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المعاملات. لنفترض أننا نريد إيجاد القيمة (أ + ب) 6. وفقًا للميزة التي لاحظناها للتو ، يجب أن يكون هناك 7 أعضاء هنا
أ 6 + ص 1 أ 5 ب + ص 2 أ 4 ب 2 + ص 3 أ 3 ب 3 + ص 4 أ 2 ب 4 + ص 5 أب 5 + ب 6.
لكن كيف يمكننا تحديد قيمة كل معامل ، ج i؟ يمكننا القيام بذلك بطريقتين. تتضمن الطريقة الأولى كتابة المعاملات في المثلث ، كما هو موضح أدناه. هذا هو المعروف باسم مثلث باسكال :


هناك العديد من الميزات في المثلث. ابحث عن أكبر عدد ممكن.
ربما تكون قد وجدت طريقة لكتابة السطر التالي من الأرقام باستخدام الأرقام الموجودة في السطر أعلاه. تقع الوحدات دائمًا على الجانبين. كل رقم متبق هو مجموع الرقمين الموجودين فوق هذا الرقم. دعنا نحاول إيجاد قيمة التعبير (أ + ب) 6 بإضافة السطر التالي باستخدام الميزات التي وجدناها:

نرى ذلك في السطر الأخير

الرقم الأول والأخير 1 ;
الرقم الثاني هو 1 + 5 ، أو 6 ;
الرقم الثالث هو 5 + 10 أو 15 ;
الرقم الرابع هو 10 + 10 أو 20 ;
الرقم الخامس هو 10 + 5 ، أو 15 ؛ و
الرقم السادس هو 5 + 1 ، أو 6 .

إذن التعبير (أ + ب) 6 سيساوي
(أ + ب) 6 = 1 أ 6 + 6 أ 5 ب + 15 أ 4 ب 2 + 20 أ 3 ب 3 + 15 أ 2 ب 4 + 6 ab5 + 1 ب 6.

من أجل الرفع للقوة (أ + ب) 8 ، نكمل خطين لمثلث باسكال:

ثم
(أ + ب) 8 = أ 8 + 8 أ 7 ب + 28 أ 6 ب 2 + 56 أ 5 ب 3 + 70 أ 4 ب 4 + 56 أ 3 ب 5 + 28 أ 2 ب 6 + 8 أب 7 + ب 8.

يمكننا تعميم نتائجنا على النحو التالي.

ذات الحدين لنيوتن باستخدام مثلث باسكال

لأي عدد ذي حدين أ + ب وأي عدد طبيعي ن ،
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n،
حيث الأرقام ج 0 ، ج 1 ، ج 2 ، .... ، ج ن -1 ، ج ن مأخوذة من سلسلة (ن + 1) لمثلث باسكال.

مثال 1ارفع للقوة: (u - v) 5.

المحلوللدينا (أ + ب) ن ، حيث أ = ش ، ب = -ف ، ون = 5. نستخدم الصف السادس من مثلث باسكال:
1 5 10 10 5 1
إذن لدينا
(ش - ت) 5 = 5 = 1 (ش) 5+ 5 (ش) 4 (-v) 1 + 10 (ش) 3 (-v) 2 + 10 (ش) 2 (-v) 3 + 5 (ش) (- ت) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2-10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
لاحظ أن إشارات المصطلحات تتقلب بين + و -. عندما تكون قوة -v عددًا فرديًا ، تكون العلامة -.

مثال 2ارفع للقوة: (2t + 3 / t) 4.

المحلوللدينا (a + b) n ، حيث a = 2t ، b = 3 / t ، و n = 4. نستخدم الصف الخامس من مثلث باسكال:
1 4 6 4 1
إذن لدينا

التحلل ذو الحدين باستخدام القيم المضروبة

لنفترض أننا نريد إيجاد القيمة (أ + ب) 11. الجانب السلبي لاستخدام مثلث باسكال هو أنه يتعين علينا حساب جميع الصفوف السابقة للمثلث للحصول على الصف المطلوب. الطريقة التالية تتجنب هذا. يسمح لك أيضًا بالعثور على سطر معين - على سبيل المثال السطر الثامن - دون حساب جميع الخطوط الأخرى. هذه الطريقة مفيدة في الحسابات والإحصاءات واستخدامها تدوين المعامل ذي الحدين .
يمكننا صياغة ذات الحدين لنيوتن على النحو التالي.

ذات الحدين نيوتن باستخدام تدوين عاملي

لأي عدد ذي حدين (أ + ب) وأي عدد طبيعي ن ،
.

يمكن إثبات ذات الحدين لنيوتن عن طريق الاستقراء الرياضي. تبين لماذا معامل ذي الحدين .

مثال 3ارفع للقوة: (× 2 - 2 ص) 5.

المحلوللدينا (أ + ب) ن ، حيث أ = س 2 ، ب = -2 ص ، ن = 5. ثم ، باستخدام ذات الحدين لنيوتن ، لدينا


أخيرًا ، (س 2 - 2 ص) 5 = س 10 - 10 × 8 ص + 40 × 6 ص 2 - 80 × 4 ص 3 + 80 × 2 ص 4 - 35 ص 5.

مثال 4ارفع للقوة: (2 / س + 3√x) 4.

المحلوللدينا (أ + ب) ن ، حيث أ = 2 / س ، ب = 3√ س ، ون = 4. ثم ، باستخدام ذات الحدين لنيوتن ، نحصل على


أخيرًا (2 / x + 3√x) 4 = 16 / x 4 + 96 / x 5/2 + 216 / x + 216x 1/2 + 81x 2.

البحث عن عضو معين

لنفترض أننا نريد تحديد عضو أو آخر لمصطلح ما من تعبير. ستسمح لنا الطريقة التي طورناها بإيجاد هذا المصطلح دون حساب جميع صفوف مثلث باسكال أو جميع المعاملات السابقة.

لاحظ أنه في قيمة نيوتن ذات الحدين ، يعطينا الحد الأول ، ويمنحنا المصطلح الثاني ، ويمنحنا المصطلح الثالث ، وهكذا. يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي.

إيجاد حد (ك + 1)

(ك + 1) مصطلح التعبير (أ + ب) ن هو.

مثال 5أوجد الحد الخامس في التعبير (2x - 5y) 6.

المحلولأولاً ، لاحظ أن 5 = 4 + 1. ثم k = 4 ، و a = 2x ، و b = -5y ، و n = 6. ثم الحد الخامس من التعبير سيكون

مثال 6أوجد الحد الثامن في التعبير (3x - 2) 10.

المحلولأولاً ، لاحظ أن 8 = 7 + 1. ثم k = 7 ، a = 3x ، b = -2 ، n = 10. ثم الحد الثامن من التعبير سيكون

إجمالي عدد المجموعات الفرعية

افترض أن المجموعة تحتوي على عدد n من الكائنات. عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر k هو. إجمالي عدد المجموعات الفرعية للمجموعة هو عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على 0 عنصر ، بالإضافة إلى عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عنصر واحد ، بالإضافة إلى عدد المجموعات الفرعية المكونة من عنصرين ، وما إلى ذلك. إجمالي عدد المجموعات الفرعية لمجموعة تحتوي على n من العناصر هو
.
الآن دعنا نفكر في الأس (1 + 1) ن:

.
وبالتالي. العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية هو (1 + 1) ن ، أو 2 ن. لقد أثبتنا ما يلي.

إجمالي عدد المجموعات الفرعية

إجمالي عدد المجموعات الفرعية لمجموعة تحتوي على n عنصر هو 2 n.

مثال 7كم عدد المجموعات الفرعية في المجموعة (A ، B ، C ، D ، E)؟

المحلولتتكون المجموعة من 5 عناصر ، ثم عدد المجموعات الفرعية هو 2 5 ، أو 32.

المثال 8تقدم سلسلة مطاعم Wendy الإضافات التالية للهامبرغر:
{كاتشب ، خردل ، مايونيز ، طماطم ، خس ، بصل ، مشروم ، زيتون ، جبن}.
كم عدد الأنواع المختلفة من الهامبرغر التي يمكن أن تقدمها Wendy ، باستثناء أحجام أو كميات الهامبرغر؟

المحلولالطبقة العلوية لكل هامبرغر هي عناصر من مجموعة فرعية من مجموعة كل الطبقة الممكنة ، والمجموعة الفارغة هي مجرد هامبرغر. سيكون العدد الإجمالي للهامبرغر المحتمل

. وبالتالي ، يمكن لـ Wendy تقديم 512 نوع هامبرغر مختلف.